Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58395 / 38489
↖ ↑ ↗
← N 59.410151°
W 19.613342°		 ← 155.43 m → N 59.410151°
W 19.610596°		 →
↑
155.45 m
↓
↑
155.45 m
↓
N 59.408753°
W 19.613342°		 ← 155.43 m →
24 162 m²		 N 59.408753°
W 19.610596°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58395 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38489 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445522308349609 y=0.293651580810547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445522308349609 × 217)
    floor (0.445522308349609 × 131072)
    floor (58395.5)     		tx = 58395
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.293651580810547 × 217)
    floor (0.293651580810547 × 131072)
    floor (38489.5)     		ty = 38489
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58395 / 38489 ti = "17/58395/38489"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58395/38489.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58395 ÷ 217
    58395 ÷ 131072     		x = 0.445518493652344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38489 ÷ 217
    38489 ÷ 131072     		y = 0.293647766113281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445518493652344 × 2 - 1) × π
    -0.108963012695312 × 3.1415926535     		Λ = -0.34231740
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.293647766113281 × 2 - 1) × π
    0.412704467773438 × 3.1415926535     		Φ = 1.29654932402366
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34231740} λ = -0.34231740}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29654932402366))-π/2
    2×atan(3.65665693411255)-π/2
    2×1.30384953096681-π/2
    2.60769906193362-1.57079632675     		φ = 1.03690274
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34231740} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.613342°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03690274 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.410151°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58395 KachelY 38489 -0.34231740 1.03690274 -19.613342 59.410151
    Oben rechts KachelX + 1 58396 KachelY 38489 -0.34226946 1.03690274 -19.610596 59.410151
    Unten links KachelX 58395 KachelY + 1 38490 -0.34231740 1.03687834 -19.613342 59.408753
    Unten rechts KachelX + 1 58396 KachelY + 1 38490 -0.34226946 1.03687834 -19.610596 59.408753
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03690274-1.03687834) × R
    2.44000000000355e-05 × 6371000     		dl = 155.452400000226m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03690274-1.03687834) × R
    2.44000000000355e-05 × 6371000     		dr = 155.452400000226m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34231740--0.34226946) × cos(1.03690274) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.508888914990555 × 6371000     		do = 155.427773438686m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34231740--0.34226946) × cos(1.03687834) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.508909919144685 × 6371000     		du = 155.434188648004m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03690274)-sin(1.03687834))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.508888914990555-0.508909919144685)×R²
    abs(-0.34226946--0.34231740)×2.10041541300887e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.10041541300887e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.10041541300887e-05×40589641000000     		ar = 24162.1190386982m²