Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58395 / 28524
↖ ↑ ↗
← N 70.747101°
W 19.613342°		 ← 100.71 m → N 70.747101°
W 19.610596°		 →
↑
100.66 m
↓
↑
100.66 m
↓
N 70.746195°
W 19.613342°		 ← 100.72 m →
10 138 m²		 N 70.746195°
W 19.610596°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58395 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28524 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445522308349609 y=0.217624664306641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445522308349609 × 217)
    floor (0.445522308349609 × 131072)
    floor (58395.5)     		tx = 58395
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.217624664306641 × 217)
    floor (0.217624664306641 × 131072)
    floor (28524.5)     		ty = 28524
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58395 / 28524 ti = "17/58395/28524"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58395/28524.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58395 ÷ 217
    58395 ÷ 131072     		x = 0.445518493652344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28524 ÷ 217
    28524 ÷ 131072     		y = 0.217620849609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445518493652344 × 2 - 1) × π
    -0.108963012695312 × 3.1415926535     		Λ = -0.34231740
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.217620849609375 × 2 - 1) × π
    0.56475830078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.77424052873752
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34231740} λ = -0.34231740}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.77424052873752))-π/2
    2×atan(5.89580174355577)-π/2
    2×1.402783085411-π/2
    2.805566170822-1.57079632675     		φ = 1.23476984
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34231740} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.613342°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23476984 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.747101°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58395 KachelY 28524 -0.34231740 1.23476984 -19.613342 70.747101
    Oben rechts KachelX + 1 58396 KachelY 28524 -0.34226946 1.23476984 -19.610596 70.747101
    Unten links KachelX 58395 KachelY + 1 28525 -0.34231740 1.23475404 -19.613342 70.746195
    Unten rechts KachelX + 1 58396 KachelY + 1 28525 -0.34226946 1.23475404 -19.610596 70.746195
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23476984-1.23475404) × R
    1.57999999998992e-05 × 6371000     		dl = 100.661799999358m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23476984-1.23475404) × R
    1.57999999998992e-05 × 6371000     		dr = 100.661799999358m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34231740--0.34226946) × cos(1.23476984) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.329738421207527 × 6371000     		do = 100.710601303675m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34231740--0.34226946) × cos(1.23475404) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.32975333750926 × 6371000     		du = 100.715157126169m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23476984)-sin(1.23475404))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.329738421207527-0.32975333750926)×R²
    abs(-0.34226946--0.34231740)×1.49163017332254e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.49163017332254e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.49163017332254e-05×40589641000000     		ar = 10137.939705127m²