Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58394 / 38490
↖ ↑ ↗
← N 59.408753°
W 19.616089°		 ← 155.43 m → N 59.408753°
W 19.613342°		 →
↑
155.45 m
↓
↑
155.45 m
↓
N 59.407355°
W 19.616089°		 ← 155.44 m →
24 163 m²		 N 59.407355°
W 19.613342°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58394 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38490 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445514678955078 y=0.293659210205078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445514678955078 × 217)
    floor (0.445514678955078 × 131072)
    floor (58394.5)     		tx = 58394
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.293659210205078 × 217)
    floor (0.293659210205078 × 131072)
    floor (38490.5)     		ty = 38490
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58394 / 38490 ti = "17/58394/38490"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58394/38490.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58394 ÷ 217
    58394 ÷ 131072     		x = 0.445510864257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38490 ÷ 217
    38490 ÷ 131072     		y = 0.293655395507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445510864257812 × 2 - 1) × π
    -0.108978271484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34236534
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.293655395507812 × 2 - 1) × π
    0.412689208984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.29650138712404
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34236534} λ = -0.34236534}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29650138712404))-π/2
    2×atan(3.65648164951749)-π/2
    2×1.30383733343663-π/2
    2.60767466687325-1.57079632675     		φ = 1.03687834
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34236534} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.616089°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03687834 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.408753°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58394 KachelY 38490 -0.34236534 1.03687834 -19.616089 59.408753
    Oben rechts KachelX + 1 58395 KachelY 38490 -0.34231740 1.03687834 -19.613342 59.408753
    Unten links KachelX 58394 KachelY + 1 38491 -0.34236534 1.03685394 -19.616089 59.407355
    Unten rechts KachelX + 1 58395 KachelY + 1 38491 -0.34231740 1.03685394 -19.613342 59.407355
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03687834-1.03685394) × R
    2.43999999998135e-05 × 6371000     		dl = 155.452399998812m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03687834-1.03685394) × R
    2.43999999998135e-05 × 6371000     		dr = 155.452399998812m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34236534--0.34231740) × cos(1.03687834) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.508909919144685 × 6371000     		do = 155.434188648184m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34236534--0.34231740) × cos(1.03685394) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.508930922995831 × 6371000     		du = 155.440603764963m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03687834)-sin(1.03685394))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.508909919144685-0.508930922995831)×R²
    abs(-0.34231740--0.34236534)×2.10038511453403e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.10038511453403e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.10038511453403e-05×40589641000000     		ar = 24163.1162910931m²