Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58394 / 28523
↖ ↑ ↗
← N 70.748006°
W 19.616089°		 ← 100.71 m → N 70.748006°
W 19.613342°		 →
↑
100.73 m
↓
↑
100.73 m
↓
N 70.747101°
W 19.616089°		 ← 100.71 m →
10 144 m²		 N 70.747101°
W 19.613342°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58394 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28523 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445514678955078 y=0.217617034912109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445514678955078 × 217)
    floor (0.445514678955078 × 131072)
    floor (58394.5)     		tx = 58394
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.217617034912109 × 217)
    floor (0.217617034912109 × 131072)
    floor (28523.5)     		ty = 28523
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58394 / 28523 ti = "17/58394/28523"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58394/28523.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58394 ÷ 217
    58394 ÷ 131072     		x = 0.445510864257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28523 ÷ 217
    28523 ÷ 131072     		y = 0.217613220214844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445510864257812 × 2 - 1) × π
    -0.108978271484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34236534
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.217613220214844 × 2 - 1) × π
    0.564773559570312 × 3.1415926535     		Φ = 1.77428846563714
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34236534} λ = -0.34236534}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.77428846563714))-π/2
    2×atan(5.89608437678635)-π/2
    2×1.40279098855087-π/2
    2.80558197710175-1.57079632675     		φ = 1.23478565
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34236534} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.616089°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23478565 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.748006°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58394 KachelY 28523 -0.34236534 1.23478565 -19.616089 70.748006
    Oben rechts KachelX + 1 58395 KachelY 28523 -0.34231740 1.23478565 -19.613342 70.748006
    Unten links KachelX 58394 KachelY + 1 28524 -0.34236534 1.23476984 -19.616089 70.747101
    Unten rechts KachelX + 1 58395 KachelY + 1 28524 -0.34231740 1.23476984 -19.613342 70.747101
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23478565-1.23476984) × R
    1.58100000000605e-05 × 6371000     		dl = 100.725510000385m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23478565-1.23476984) × R
    1.58100000000605e-05 × 6371000     		dr = 100.725510000385m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34236534--0.34231740) × cos(1.23478565) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.329723495382702 × 6371000     		do = 100.706042572699m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34236534--0.34231740) × cos(1.23476984) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.329738421207527 × 6371000     		du = 100.710601303791m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23478565)-sin(1.23476984))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.329723495382702-0.329738421207527)×R²
    abs(-0.34231740--0.34236534)×1.4925824824763e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.4925824824763e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.4925824824763e-05×40589641000000     		ar = 10143.8970886496m²