Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58394 / 28521
↖ ↑ ↗
← N 70.749817°
W 19.616089°		 ← 100.70 m → N 70.749817°
W 19.613342°		 →
↑
100.66 m
↓
↑
100.66 m
↓
N 70.748912°
W 19.616089°		 ← 100.70 m →
10 137 m²		 N 70.748912°
W 19.613342°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58394 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28521 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445514678955078 y=0.217601776123047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445514678955078 × 217)
    floor (0.445514678955078 × 131072)
    floor (58394.5)     		tx = 58394
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.217601776123047 × 217)
    floor (0.217601776123047 × 131072)
    floor (28521.5)     		ty = 28521
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58394 / 28521 ti = "17/58394/28521"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58394/28521.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58394 ÷ 217
    58394 ÷ 131072     		x = 0.445510864257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28521 ÷ 217
    28521 ÷ 131072     		y = 0.217597961425781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445510864257812 × 2 - 1) × π
    -0.108978271484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34236534
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.217597961425781 × 2 - 1) × π
    0.564804077148438 × 3.1415926535     		Φ = 1.77438433943638
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34236534} λ = -0.34236534}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.77438433943638))-π/2
    2×atan(5.89664968389483)-π/2
    2×1.40280679375766-π/2
    2.80561358751533-1.57079632675     		φ = 1.23481726
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34236534} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.616089°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23481726 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.749817°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58394 KachelY 28521 -0.34236534 1.23481726 -19.616089 70.749817
    Oben rechts KachelX + 1 58395 KachelY 28521 -0.34231740 1.23481726 -19.613342 70.749817
    Unten links KachelX 58394 KachelY + 1 28522 -0.34236534 1.23480146 -19.616089 70.748912
    Unten rechts KachelX + 1 58395 KachelY + 1 28522 -0.34231740 1.23480146 -19.613342 70.748912
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23481726-1.23480146) × R
    1.58000000001213e-05 × 6371000     		dl = 100.661800000773m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23481726-1.23480146) × R
    1.58000000001213e-05 × 6371000     		dr = 100.661800000773m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34236534--0.34231740) × cos(1.23481726) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.329693652926687 × 6371000     		do = 100.696927918487m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34236534--0.34231740) × cos(1.23480146) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.329708569475461 × 6371000     		du = 100.701483816435m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23481726)-sin(1.23480146))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.329693652926687-0.329708569475461)×R²
    abs(-0.34231740--0.34236534)×1.49165487741687e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.49165487741687e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.49165487741687e-05×40589641000000     		ar = 10136.5633214178m²