Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58392 / 35831
↖ ↑ ↗
← N 62.926486°
W 19.621582°		 ← 139.01 m → N 62.926486°
W 19.618835°		 →
↑
139.02 m
↓
↑
139.02 m
↓
N 62.925235°
W 19.621582°		 ← 139.02 m →
19 325 m²		 N 62.925235°
W 19.618835°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58392 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35831 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445499420166016 y=0.273372650146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445499420166016 × 217)
    floor (0.445499420166016 × 131072)
    floor (58392.5)     		tx = 58392
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.273372650146484 × 217)
    floor (0.273372650146484 × 131072)
    floor (35831.5)     		ty = 35831
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58392 / 35831 ti = "17/58392/35831"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58392/35831.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58392 ÷ 217
    58392 ÷ 131072     		x = 0.44549560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35831 ÷ 217
    35831 ÷ 131072     		y = 0.273368835449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44549560546875 × 2 - 1) × π
    -0.1090087890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34246121
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.273368835449219 × 2 - 1) × π
    0.453262329101562 × 3.1415926535     		Φ = 1.42396560321377
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34246121} λ = -0.34246121}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42396560321377))-π/2
    2×atan(4.15355919160461)-π/2
    2×1.33453534491412-π/2
    2.66907068982825-1.57079632675     		φ = 1.09827436
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34246121} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.621582°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09827436 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.926486°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58392 KachelY 35831 -0.34246121 1.09827436 -19.621582 62.926486
    Oben rechts KachelX + 1 58393 KachelY 35831 -0.34241327 1.09827436 -19.618835 62.926486
    Unten links KachelX 58392 KachelY + 1 35832 -0.34246121 1.09825254 -19.621582 62.925235
    Unten rechts KachelX + 1 58393 KachelY + 1 35832 -0.34241327 1.09825254 -19.618835 62.925235
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09827436-1.09825254) × R
    2.18199999999502e-05 × 6371000     		dl = 139.015219999683m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09827436-1.09825254) × R
    2.18199999999502e-05 × 6371000     		dr = 139.015219999683m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34246121--0.34241327) × cos(1.09827436) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.455133348364449 × 6371000     		do = 139.00943972296m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34246121--0.34241327) × cos(1.09825254) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.455152777292286 × 6371000     		du = 139.015373817621m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09827436)-sin(1.09825254))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.455133348364449-0.455152777292286)×R²
    abs(-0.34241327--0.34246121)×1.94289278368509e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.94289278368509e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.94289278368509e-05×40589641000000     		ar = 19324.8403106262m²