Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58392 / 28520
↖ ↑ ↗
← N 70.750723°
W 19.621582°		 ← 100.69 m → N 70.750723°
W 19.618835°		 →
↑
100.66 m
↓
↑
100.66 m
↓
N 70.749817°
W 19.621582°		 ← 100.70 m →
10 136 m²		 N 70.749817°
W 19.618835°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58392 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28520 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445499420166016 y=0.217594146728516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445499420166016 × 217)
    floor (0.445499420166016 × 131072)
    floor (58392.5)     		tx = 58392
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.217594146728516 × 217)
    floor (0.217594146728516 × 131072)
    floor (28520.5)     		ty = 28520
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58392 / 28520 ti = "17/58392/28520"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58392/28520.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58392 ÷ 217
    58392 ÷ 131072     		x = 0.44549560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28520 ÷ 217
    28520 ÷ 131072     		y = 0.21759033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44549560546875 × 2 - 1) × π
    -0.1090087890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34246121
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21759033203125 × 2 - 1) × π
    0.5648193359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.774432276336
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34246121} λ = -0.34246121}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.774432276336))-π/2
    2×atan(5.89693235777402)-π/2
    2×1.40281469582461-π/2
    2.80562939164922-1.57079632675     		φ = 1.23483306
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34246121} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.621582°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23483306 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.750723°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58392 KachelY 28520 -0.34246121 1.23483306 -19.621582 70.750723
    Oben rechts KachelX + 1 58393 KachelY 28520 -0.34241327 1.23483306 -19.618835 70.750723
    Unten links KachelX 58392 KachelY + 1 28521 -0.34246121 1.23481726 -19.621582 70.749817
    Unten rechts KachelX + 1 58393 KachelY + 1 28521 -0.34241327 1.23481726 -19.618835 70.749817
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23483306-1.23481726) × R
    1.57999999998992e-05 × 6371000     		dl = 100.661799999358m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23483306-1.23481726) × R
    1.57999999998992e-05 × 6371000     		dr = 100.661799999358m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34246121--0.34241327) × cos(1.23483306) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.329678736295608 × 6371000     		do = 100.692371995402m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34246121--0.34241327) × cos(1.23481726) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.329693652926687 × 6371000     		du = 100.696927918487m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23483306)-sin(1.23481726))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.329678736295608-0.329693652926687)×R²
    abs(-0.34241327--0.34246121)×1.49166310786653e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.49166310786653e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.49166310786653e-05×40589641000000     		ar = 10136.1047152263m²