Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58391 / 38689
↖ ↑ ↗
← N 59.129454°
W 19.624329°		 ← 156.71 m → N 59.129454°
W 19.621582°		 →
↑
156.66 m
↓
↑
156.66 m
↓
N 59.128045°
W 19.624329°		 ← 156.72 m →
24 552 m²		 N 59.128045°
W 19.621582°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58391 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38689 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445491790771484 y=0.295177459716797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445491790771484 × 217)
    floor (0.445491790771484 × 131072)
    floor (58391.5)     		tx = 58391
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295177459716797 × 217)
    floor (0.295177459716797 × 131072)
    floor (38689.5)     		ty = 38689
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58391 / 38689 ti = "17/58391/38689"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58391/38689.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58391 ÷ 217
    58391 ÷ 131072     		x = 0.445487976074219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38689 ÷ 217
    38689 ÷ 131072     		y = 0.295173645019531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445487976074219 × 2 - 1) × π
    -0.109024047851562 × 3.1415926535     		Λ = -0.34250915
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.295173645019531 × 2 - 1) × π
    0.409652709960938 × 3.1415926535     		Φ = 1.28696194409965
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34250915} λ = -0.34250915}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28696194409965))-π/2
    2×atan(3.62176669507467)-π/2
    2×1.30139999072403-π/2
    2.60279998144806-1.57079632675     		φ = 1.03200365
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34250915} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.624329°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03200365 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.129454°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58391 KachelY 38689 -0.34250915 1.03200365 -19.624329 59.129454
    Oben rechts KachelX + 1 58392 KachelY 38689 -0.34246121 1.03200365 -19.621582 59.129454
    Unten links KachelX 58391 KachelY + 1 38690 -0.34250915 1.03197906 -19.624329 59.128045
    Unten rechts KachelX + 1 58392 KachelY + 1 38690 -0.34246121 1.03197906 -19.621582 59.128045
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03200365-1.03197906) × R
    2.4589999999991e-05 × 6371000     		dl = 156.662889999943m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03200365-1.03197906) × R
    2.4589999999991e-05 × 6371000     		dr = 156.662889999943m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34250915--0.34246121) × cos(1.03200365) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.513100085600651 × 6371000     		do = 156.713973338539m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34250915--0.34246121) × cos(1.03197906) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.51312119175033 × 6371000     		du = 156.720419699924m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03200365)-sin(1.03197906))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.513100085600651-0.51312119175033)×R²
    abs(-0.34246121--0.34250915)×2.11061496789844e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.11061496789844e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.11061496789844e-05×40589641000000     		ar = 24551.7689206095m²