Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58390 / 36270
↖ ↑ ↗
← N 62.372544°
W 19.627075°		 ← 141.60 m → N 62.372544°
W 19.624329°		 →
↑
141.63 m
↓
↑
141.63 m
↓
N 62.371270°
W 19.627075°		 ← 141.61 m →
20 055 m²		 N 62.371270°
W 19.624329°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58390 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36270 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445484161376953 y=0.276721954345703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445484161376953 × 217)
    floor (0.445484161376953 × 131072)
    floor (58390.5)     		tx = 58390
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.276721954345703 × 217)
    floor (0.276721954345703 × 131072)
    floor (36270.5)     		ty = 36270
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58390 / 36270 ti = "17/58390/36270"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58390/36270.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58390 ÷ 217
    58390 ÷ 131072     		x = 0.445480346679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36270 ÷ 217
    36270 ÷ 131072     		y = 0.276718139648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445480346679688 × 2 - 1) × π
    -0.109039306640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34255708
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.276718139648438 × 2 - 1) × π
    0.446563720703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.40292130428056
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34255708} λ = -0.34255708}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.40292130428056))-π/2
    2×atan(4.06706376030452)-π/2
    2×1.32970128844541-π/2
    2.65940257689083-1.57079632675     		φ = 1.08860625
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34255708} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.627075°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.08860625 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.372544°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58390 KachelY 36270 -0.34255708 1.08860625 -19.627075 62.372544
    Oben rechts KachelX + 1 58391 KachelY 36270 -0.34250915 1.08860625 -19.624329 62.372544
    Unten links KachelX 58390 KachelY + 1 36271 -0.34255708 1.08858402 -19.627075 62.371270
    Unten rechts KachelX + 1 58391 KachelY + 1 36271 -0.34250915 1.08858402 -19.624329 62.371270
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.08860625-1.08858402) × R
    2.22299999999009e-05 × 6371000     		dl = 141.627329999369m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.08860625-1.08858402) × R
    2.22299999999009e-05 × 6371000     		dr = 141.627329999369m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34255708--0.34250915) × cos(1.08860625) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.463720653539364 × 6371000     		do = 141.602680117794m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34255708--0.34250915) × cos(1.08858402) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.46374034879274 × 6371000     		du = 141.608694300346m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.08860625)-sin(1.08858402))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.463720653539364-0.46374034879274)×R²
    abs(-0.34250915--0.34255708)×1.96952533755845e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.96952533755845e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.96952533755845e-05×40589641000000     		ar = 20055.2353929455m²