Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5839 / 7856
↖ ↑ ↗
← N 67.941650°
W115.850830°		 ← 458.79 m → N 67.941650°
W115.839844°		 →
↑
458.78 m
↓
↑
458.78 m
↓
N 67.937524°
W115.850830°		 ← 458.87 m →
210 499 m²		 N 67.937524°
W115.839844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5839 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7856 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.178207397460938 y=0.239761352539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.178207397460938 × 215)
    floor (0.178207397460938 × 32768)
    floor (5839.5)     		tx = 5839
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.239761352539062 × 215)
    floor (0.239761352539062 × 32768)
    floor (7856.5)     		ty = 7856
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5839 / 7856 ti = "15/5839/7856"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5839/7856.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5839 ÷ 215
    5839 ÷ 32768     		x = 0.178192138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7856 ÷ 215
    7856 ÷ 32768     		y = 0.23974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.178192138671875 × 2 - 1) × π
    -0.64361572265625 × 3.1415926535     		Λ = -2.02197843
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23974609375 × 2 - 1) × π
    0.5205078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.63522351983936
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.02197843} λ = -2.02197843}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.63522351983936))-π/2
    2×atan(5.13060466080091)-π/2
    2×1.37830090956584-π/2
    2.75660181913168-1.57079632675     		φ = 1.18580549
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.02197843} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -115.850830°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18580549 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.941650°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5839 KachelY 7856 -2.02197843 1.18580549 -115.850830 67.941650
    Oben rechts KachelX + 1 5840 KachelY 7856 -2.02178668 1.18580549 -115.839844 67.941650
    Unten links KachelX 5839 KachelY + 1 7857 -2.02197843 1.18573348 -115.850830 67.937524
    Unten rechts KachelX + 1 5840 KachelY + 1 7857 -2.02178668 1.18573348 -115.839844 67.937524
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18580549-1.18573348) × R
    7.20100000000112e-05 × 6371000     		dl = 458.775710000072m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18580549-1.18573348) × R
    7.20100000000112e-05 × 6371000     		dr = 458.775710000072m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.02197843--2.02178668) × cos(1.18580549) × R
    0.000191749999999935 × 0.375550644287607 × 6371000     		do = 458.787407424373m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.02197843--2.02178668) × cos(1.18573348) × R
    0.000191749999999935 × 0.375617382316795 × 6371000     		du = 458.868937220297m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18580549)-sin(1.18573348))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.375550644287607-0.375617382316795)×R²
    abs(-2.02178668--2.02197843)×6.67380291884956e-05×R²
    0.000191749999999935×6.67380291884956e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.67380291884956e-05×40589641000000     		ar = 210499.220616397m²