Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58389 / 36278
↖ ↑ ↗
← N 62.362353°
W 19.629822°		 ← 141.68 m → N 62.362353°
W 19.627075°		 →
↑
141.69 m
↓
↑
141.69 m
↓
N 62.361079°
W 19.629822°		 ← 141.69 m →
20 075 m²		 N 62.361079°
W 19.627075°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58389 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36278 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445476531982422 y=0.276782989501953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445476531982422 × 217)
    floor (0.445476531982422 × 131072)
    floor (58389.5)     		tx = 58389
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.276782989501953 × 217)
    floor (0.276782989501953 × 131072)
    floor (36278.5)     		ty = 36278
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58389 / 36278 ti = "17/58389/36278"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58389/36278.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58389 ÷ 217
    58389 ÷ 131072     		x = 0.445472717285156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36278 ÷ 217
    36278 ÷ 131072     		y = 0.276779174804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445472717285156 × 2 - 1) × π
    -0.109054565429688 × 3.1415926535     		Λ = -0.34260502
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.276779174804688 × 2 - 1) × π
    0.446441650390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.4025378090836
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34260502} λ = -0.34260502}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.4025378090836))-π/2
    2×atan(4.0655043599171)-π/2
    2×1.3296123560168-π/2
    2.6592247120336-1.57079632675     		φ = 1.08842839
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34260502} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.629822°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.08842839 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.362353°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58389 KachelY 36278 -0.34260502 1.08842839 -19.629822 62.362353
    Oben rechts KachelX + 1 58390 KachelY 36278 -0.34255708 1.08842839 -19.627075 62.362353
    Unten links KachelX 58389 KachelY + 1 36279 -0.34260502 1.08840615 -19.629822 62.361079
    Unten rechts KachelX + 1 58390 KachelY + 1 36279 -0.34255708 1.08840615 -19.627075 62.361079
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.08842839-1.08840615) × R
    2.22400000000622e-05 × 6371000     		dl = 141.691040000396m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.08842839-1.08840615) × R
    2.22400000000622e-05 × 6371000     		dr = 141.691040000396m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34260502--0.34255708) × cos(1.08842839) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.463878226867103 × 6371000     		do = 141.68035071068m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34260502--0.34255708) × cos(1.08840615) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.463897929145543 × 6371000     		du = 141.686368293652m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.08842839)-sin(1.08840615))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.463878226867103-0.463897929145543)×R²
    abs(-0.34255708--0.34260502)×1.97022784402812e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.97022784402812e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.97022784402812e-05×40589641000000     		ar = 20075.2625593854m²