Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58387 / 38451
↖ ↑ ↗
← N 59.463222°
W 19.635315°		 ← 155.18 m → N 59.463222°
W 19.632568°		 →
↑
155.20 m
↓
↑
155.20 m
↓
N 59.461826°
W 19.635315°		 ← 155.19 m →
24 085 m²		 N 59.461826°
W 19.632568°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58387 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38451 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445461273193359 y=0.293361663818359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445461273193359 × 217)
    floor (0.445461273193359 × 131072)
    floor (58387.5)     		tx = 58387
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.293361663818359 × 217)
    floor (0.293361663818359 × 131072)
    floor (38451.5)     		ty = 38451
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58387 / 38451 ti = "17/58387/38451"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58387/38451.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58387 ÷ 217
    58387 ÷ 131072     		x = 0.445457458496094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38451 ÷ 217
    38451 ÷ 131072     		y = 0.293357849121094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445457458496094 × 2 - 1) × π
    -0.109085083007812 × 3.1415926535     		Λ = -0.34270090
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.293357849121094 × 2 - 1) × π
    0.413284301757812 × 3.1415926535     		Φ = 1.29837092620922
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34270090} λ = -0.34270090}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29837092620922))-π/2
    2×atan(3.66332397888367)-π/2
    2×1.30431266427106-π/2
    2.60862532854212-1.57079632675     		φ = 1.03782900
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34270090} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.635315°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03782900 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.463222°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58387 KachelY 38451 -0.34270090 1.03782900 -19.635315 59.463222
    Oben rechts KachelX + 1 58388 KachelY 38451 -0.34265296 1.03782900 -19.632568 59.463222
    Unten links KachelX 58387 KachelY + 1 38452 -0.34270090 1.03780464 -19.635315 59.461826
    Unten rechts KachelX + 1 58388 KachelY + 1 38452 -0.34265296 1.03780464 -19.632568 59.461826
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03782900-1.03780464) × R
    2.43599999998345e-05 × 6371000     		dl = 155.197559998946m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03782900-1.03780464) × R
    2.43599999998345e-05 × 6371000     		dr = 155.197559998946m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34270090--0.34265296) × cos(1.03782900) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.508091342370806 × 6371000     		do = 155.184174231095m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34270090--0.34265296) × cos(1.03780464) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.508112323565797 × 6371000     		du = 155.190582428101m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03782900)-sin(1.03780464))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.508091342370806-0.508112323565797)×R²
    abs(-0.34265296--0.34270090)×2.09811949912764e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.09811949912764e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.09811949912764e-05×40589641000000     		ar = 24084.7024605618m²