Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58385 / 86666
↖ ↑ ↗
← S 50.081820°
W 19.640808°		 ← 195.99 m → S 50.081820°
W 19.638061°		 →
↑
195.97 m
↓
↑
195.97 m
↓
S 50.083582°
W 19.640808°		 ← 195.98 m →
38 408 m²		 S 50.083582°
W 19.638061°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58385 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86666 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445446014404297 y=0.661212921142578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445446014404297 × 217)
    floor (0.445446014404297 × 131072)
    floor (58385.5)     		tx = 58385
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.661212921142578 × 217)
    floor (0.661212921142578 × 131072)
    floor (86666.5)     		ty = 86666
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58385 / 86666 ti = "17/58385/86666"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58385/86666.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58385 ÷ 217
    58385 ÷ 131072     		x = 0.445442199707031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86666 ÷ 217
    86666 ÷ 131072     		y = 0.661209106445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445442199707031 × 2 - 1) × π
    -0.109115600585938 × 3.1415926535     		Λ = -0.34279677
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.661209106445312 × 2 - 1) × π
    -0.322418212890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.01290668897179
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34279677} λ = -0.34279677}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01290668897179))-π/2
    2×atan(0.363161845404696)-π/2
    2×0.348351839683839-π/2
    0.696703679367679-1.57079632675     		φ = -0.87409265
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34279677} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.640808°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87409265 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.081820°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58385 KachelY 86666 -0.34279677 -0.87409265 -19.640808 -50.081820
    Oben rechts KachelX + 1 58386 KachelY 86666 -0.34274883 -0.87409265 -19.638061 -50.081820
    Unten links KachelX 58385 KachelY + 1 86667 -0.34279677 -0.87412341 -19.640808 -50.083582
    Unten rechts KachelX + 1 58386 KachelY + 1 86667 -0.34274883 -0.87412341 -19.638061 -50.083582
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87409265--0.87412341) × R
    3.07600000000186e-05 × 6371000     		dl = 195.971960000118m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87409265--0.87412341) × R
    3.07600000000186e-05 × 6371000     		dr = 195.971960000118m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34279677--0.34274883) × cos(-0.87409265) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.641693024803301 × 6371000     		do = 195.989566953258m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34279677--0.34274883) × cos(-0.87412341) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.641669432761592 × 6371000     		du = 195.982361336461m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87409265)-sin(-0.87412341))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.641693024803301-0.641669432761592)×R²
    abs(-0.34274883--0.34279677)×2.35920417092084e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35920417092084e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35920417092084e-05×40589641000000     		ar = 38407.7535289336m²