Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58385 / 38449
↖ ↑ ↗
← N 59.466012°
W 19.640808°		 ← 155.17 m → N 59.466012°
W 19.638061°		 →
↑
155.13 m
↓
↑
155.13 m
↓
N 59.464617°
W 19.640808°		 ← 155.18 m →
24 073 m²		 N 59.464617°
W 19.638061°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58385 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38449 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445446014404297 y=0.293346405029297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445446014404297 × 217)
    floor (0.445446014404297 × 131072)
    floor (58385.5)     		tx = 58385
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.293346405029297 × 217)
    floor (0.293346405029297 × 131072)
    floor (38449.5)     		ty = 38449
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58385 / 38449 ti = "17/58385/38449"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58385/38449.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58385 ÷ 217
    58385 ÷ 131072     		x = 0.445442199707031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38449 ÷ 217
    38449 ÷ 131072     		y = 0.293342590332031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445442199707031 × 2 - 1) × π
    -0.109115600585938 × 3.1415926535     		Λ = -0.34279677
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.293342590332031 × 2 - 1) × π
    0.413314819335938 × 3.1415926535     		Φ = 1.29846680000846
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34279677} λ = -0.34279677}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29846680000846))-π/2
    2×atan(3.66367521250816)-π/2
    2×1.30433701958906-π/2
    2.60867403917811-1.57079632675     		φ = 1.03787771
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34279677} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.640808°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03787771 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.466012°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58385 KachelY 38449 -0.34279677 1.03787771 -19.640808 59.466012
    Oben rechts KachelX + 1 58386 KachelY 38449 -0.34274883 1.03787771 -19.638061 59.466012
    Unten links KachelX 58385 KachelY + 1 38450 -0.34279677 1.03785336 -19.640808 59.464617
    Unten rechts KachelX + 1 58386 KachelY + 1 38450 -0.34274883 1.03785336 -19.638061 59.464617
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03787771-1.03785336) × R
    2.43500000001173e-05 × 6371000     		dl = 155.133850000748m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03787771-1.03785336) × R
    2.43500000001173e-05 × 6371000     		dr = 155.133850000748m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34279677--0.34274883) × cos(1.03787771) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.508049387689596 × 6371000     		do = 155.17136019154m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34279677--0.34274883) × cos(1.03785336) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.508070360874308 × 6371000     		du = 155.177765942001m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03787771)-sin(1.03785336))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.508049387689596-0.508070360874308)×R²
    abs(-0.34274883--0.34279677)×2.09731847122807e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.09731847122807e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.09731847122807e-05×40589641000000     		ar = 24072.8273920725m²