Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58384 / 81131
↖ ↑ ↗
← S 39.323675°
W 19.643555°		 ← 236.27 m → S 39.323675°
W 19.640808°		 →
↑
236.24 m
↓
↑
236.24 m
↓
S 39.325799°
W 19.643555°		 ← 236.26 m →
55 815 m²		 S 39.325799°
W 19.640808°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58384 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81131 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445438385009766 y=0.618984222412109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445438385009766 × 217)
    floor (0.445438385009766 × 131072)
    floor (58384.5)     		tx = 58384
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.618984222412109 × 217)
    floor (0.618984222412109 × 131072)
    floor (81131.5)     		ty = 81131
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58384 / 81131 ti = "17/58384/81131"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58384/81131.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58384 ÷ 217
    58384 ÷ 131072     		x = 0.4454345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81131 ÷ 217
    81131 ÷ 131072     		y = 0.618980407714844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4454345703125 × 2 - 1) × π
    -0.109130859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34284471
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.618980407714844 × 2 - 1) × π
    -0.237960815429688 × 3.1415926535     		Φ = -0.747575949574776
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34284471} λ = -0.34284471}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.747575949574776))-π/2
    2×atan(0.473512982023873)-π/2
    2×0.442234364189292-π/2
    0.884468728378584-1.57079632675     		φ = -0.68632760
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34284471} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.643555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68632760 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.323675°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58384 KachelY 81131 -0.34284471 -0.68632760 -19.643555 -39.323675
    Oben rechts KachelX + 1 58385 KachelY 81131 -0.34279677 -0.68632760 -19.640808 -39.323675
    Unten links KachelX 58384 KachelY + 1 81132 -0.34284471 -0.68636468 -19.643555 -39.325799
    Unten rechts KachelX + 1 58385 KachelY + 1 81132 -0.34279677 -0.68636468 -19.640808 -39.325799
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68632760--0.68636468) × R
    3.70799999999116e-05 × 6371000     		dl = 236.236679999437m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68632760--0.68636468) × R
    3.70799999999116e-05 × 6371000     		dr = 236.236679999437m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34284471--0.34279677) × cos(-0.68632760) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.773578428183473 × 6371000     		do = 236.270763876093m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34284471--0.34279677) × cos(-0.68636468) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.773554930034448 × 6371000     		du = 236.263586936538m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68632760)-sin(-0.68636468))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.773578428183473-0.773554930034448)×R²
    abs(-0.34279677--0.34284471)×2.34981490255803e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.34981490255803e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.34981490255803e-05×40589641000000     		ar = 55814.9731172167m²