Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58384 / 36274
↖ ↑ ↗
← N 62.367449°
W 19.643555°		 ← 141.66 m → N 62.367449°
W 19.640808°		 →
↑
141.69 m
↓
↑
141.69 m
↓
N 62.366175°
W 19.643555°		 ← 141.66 m →
20 072 m²		 N 62.366175°
W 19.640808°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58384 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36274 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445438385009766 y=0.276752471923828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445438385009766 × 217)
    floor (0.445438385009766 × 131072)
    floor (58384.5)     		tx = 58384
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.276752471923828 × 217)
    floor (0.276752471923828 × 131072)
    floor (36274.5)     		ty = 36274
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58384 / 36274 ti = "17/58384/36274"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58384/36274.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58384 ÷ 217
    58384 ÷ 131072     		x = 0.4454345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36274 ÷ 217
    36274 ÷ 131072     		y = 0.276748657226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4454345703125 × 2 - 1) × π
    -0.109130859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34284471
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.276748657226562 × 2 - 1) × π
    0.446502685546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.40272955668208
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34284471} λ = -0.34284471}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.40272955668208))-π/2
    2×atan(4.06628398535799)-π/2
    2×1.329656826008-π/2
    2.659313652016-1.57079632675     		φ = 1.08851733
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34284471} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.643555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.08851733 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.367449°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58384 KachelY 36274 -0.34284471 1.08851733 -19.643555 62.367449
    Oben rechts KachelX + 1 58385 KachelY 36274 -0.34279677 1.08851733 -19.640808 62.367449
    Unten links KachelX 58384 KachelY + 1 36275 -0.34284471 1.08849509 -19.643555 62.366175
    Unten rechts KachelX + 1 58385 KachelY + 1 36275 -0.34279677 1.08849509 -19.640808 62.366175
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.08851733-1.08849509) × R
    2.22399999998402e-05 × 6371000     		dl = 141.691039998982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.08851733-1.08849509) × R
    2.22399999998402e-05 × 6371000     		dr = 141.691039998982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34284471--0.34279677) × cos(1.08851733) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.463799433177821 × 6371000     		do = 141.656285089988m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34284471--0.34279677) × cos(1.08849509) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.463819136373765 × 6371000     		du = 141.662302953189m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.08851733)-sin(1.08849509))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.463799433177821-0.463819136373765)×R²
    abs(-0.34279677--0.34284471)×1.97031959446314e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.97031959446314e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.97031959446314e-05×40589641000000     		ar = 20071.8526963537m²