Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58383 / 36344
↖ ↑ ↗
← N 62.278145°
W 19.646301°		 ← 142.05 m → N 62.278145°
W 19.643555°		 →
↑
142.07 m
↓
↑
142.07 m
↓
N 62.276868°
W 19.646301°		 ← 142.05 m →
20 182 m²		 N 62.276868°
W 19.643555°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58383 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36344 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445430755615234 y=0.277286529541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445430755615234 × 217)
    floor (0.445430755615234 × 131072)
    floor (58383.5)     		tx = 58383
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.277286529541016 × 217)
    floor (0.277286529541016 × 131072)
    floor (36344.5)     		ty = 36344
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58383 / 36344 ti = "17/58383/36344"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58383/36344.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58383 ÷ 217
    58383 ÷ 131072     		x = 0.445426940917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36344 ÷ 217
    36344 ÷ 131072     		y = 0.27728271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445426940917969 × 2 - 1) × π
    -0.109146118164062 × 3.1415926535     		Λ = -0.34289264
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.27728271484375 × 2 - 1) × π
    0.4454345703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.39937397370868
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34289264} λ = -0.34289264}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.39937397370868))-π/2
    2×atan(4.05266209951759)-π/2
    2×1.32887750975558-π/2
    2.65775501951117-1.57079632675     		φ = 1.08695869
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34289264} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.646301°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.08695869 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.278145°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58383 KachelY 36344 -0.34289264 1.08695869 -19.646301 62.278145
    Oben rechts KachelX + 1 58384 KachelY 36344 -0.34284471 1.08695869 -19.643555 62.278145
    Unten links KachelX 58383 KachelY + 1 36345 -0.34289264 1.08693639 -19.646301 62.276868
    Unten rechts KachelX + 1 58384 KachelY + 1 36345 -0.34284471 1.08693639 -19.643555 62.276868
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.08695869-1.08693639) × R
    2.22999999999196e-05 × 6371000     		dl = 142.073299999488m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.08695869-1.08693639) × R
    2.22999999999196e-05 × 6371000     		dr = 142.073299999488m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34289264--0.34284471) × cos(1.08695869) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.465179731126633 × 6371000     		do = 142.04822701177m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34289264--0.34284471) × cos(1.08693639) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.465199471333449 × 6371000     		du = 142.054254921396m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.08695869)-sin(1.08693639))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.465179731126633-0.465199471333449)×R²
    abs(-0.34284471--0.34289264)×1.9740206815555e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.9740206815555e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.9740206815555e-05×40589641000000     		ar = 20181.6885740538m²