Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58382 / 81584
↖ ↑ ↗
← S 40.279525°
W 19.649048°		 ← 233.01 m → S 40.279525°
W 19.646301°		 →
↑
232.99 m
↓
↑
232.99 m
↓
S 40.281621°
W 19.649048°		 ← 233 m →
54 287 m²		 S 40.281621°
W 19.646301°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58382 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81584 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445423126220703 y=0.622440338134766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445423126220703 × 217)
    floor (0.445423126220703 × 131072)
    floor (58382.5)     		tx = 58382
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622440338134766 × 217)
    floor (0.622440338134766 × 131072)
    floor (81584.5)     		ty = 81584
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58382 / 81584 ti = "17/58382/81584"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58382/81584.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58382 ÷ 217
    58382 ÷ 131072     		x = 0.445419311523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81584 ÷ 217
    81584 ÷ 131072     		y = 0.6224365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445419311523438 × 2 - 1) × π
    -0.109161376953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34294058
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6224365234375 × 2 - 1) × π
    -0.244873046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.769291365102661
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34294058} λ = -0.34294058}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.769291365102661))-π/2
    2×atan(0.463341291810935)-π/2
    2×0.433892991374657-π/2
    0.867785982749315-1.57079632675     		φ = -0.70301034
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34294058} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.649048°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70301034 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.279525°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58382 KachelY 81584 -0.34294058 -0.70301034 -19.649048 -40.279525
    Oben rechts KachelX + 1 58383 KachelY 81584 -0.34289264 -0.70301034 -19.646301 -40.279525
    Unten links KachelX 58382 KachelY + 1 81585 -0.34294058 -0.70304691 -19.649048 -40.281621
    Unten rechts KachelX + 1 58383 KachelY + 1 81585 -0.34289264 -0.70304691 -19.646301 -40.281621
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70301034--0.70304691) × R
    3.65700000000135e-05 × 6371000     		dl = 232.987470000086m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70301034--0.70304691) × R
    3.65700000000135e-05 × 6371000     		dr = 232.987470000086m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34294058--0.34289264) × cos(-0.70301034) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.762899410387429 × 6371000     		do = 233.009116962992m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34294058--0.34289264) × cos(-0.70304691) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.762875766743301 × 6371000     		du = 233.001895585487m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70301034)-sin(-0.70304691))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.762899410387429-0.762875766743301)×R²
    abs(-0.34289264--0.34294058)×2.36436441286569e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36436441286569e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36436441286569e-05×40589641000000     		ar = 54287.3634091029m²