Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58382 / 38446
↖ ↑ ↗
← N 59.470198°
W 19.649048°		 ← 155.15 m → N 59.470198°
W 19.646301°		 →
↑
155.13 m
↓
↑
155.13 m
↓
N 59.468803°
W 19.649048°		 ← 155.16 m →
24 070 m²		 N 59.468803°
W 19.646301°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58382 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38446 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445423126220703 y=0.293323516845703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445423126220703 × 217)
    floor (0.445423126220703 × 131072)
    floor (58382.5)     		tx = 58382
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.293323516845703 × 217)
    floor (0.293323516845703 × 131072)
    floor (38446.5)     		ty = 38446
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58382 / 38446 ti = "17/58382/38446"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58382/38446.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58382 ÷ 217
    58382 ÷ 131072     		x = 0.445419311523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38446 ÷ 217
    38446 ÷ 131072     		y = 0.293319702148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445419311523438 × 2 - 1) × π
    -0.109161376953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34294058
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.293319702148438 × 2 - 1) × π
    0.413360595703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.29861061070732
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34294058} λ = -0.34294058}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29861061070732))-π/2
    2×atan(3.66420212608786)-π/2
    2×1.30437354879517-π/2
    2.60874709759035-1.57079632675     		φ = 1.03795077
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34294058} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.649048°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03795077 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.470198°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58382 KachelY 38446 -0.34294058 1.03795077 -19.649048 59.470198
    Oben rechts KachelX + 1 58383 KachelY 38446 -0.34289264 1.03795077 -19.646301 59.470198
    Unten links KachelX 58382 KachelY + 1 38447 -0.34294058 1.03792642 -19.649048 59.468803
    Unten rechts KachelX + 1 58383 KachelY + 1 38447 -0.34289264 1.03792642 -19.646301 59.468803
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03795077-1.03792642) × R
    2.43499999998953e-05 × 6371000     		dl = 155.133849999333m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03795077-1.03792642) × R
    2.43499999998953e-05 × 6371000     		dr = 155.133849999333m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34294058--0.34289264) × cos(1.03795077) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.507986457714456 × 6371000     		do = 155.152139757315m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34294058--0.34289264) × cos(1.03792642) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.508007431802956 × 6371000     		du = 155.158545783816m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03795077)-sin(1.03792642))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.507986457714456-0.508007431802956)×R²
    abs(-0.34289264--0.34294058)×2.09740885002141e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.09740885002141e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.09740885002141e-05×40589641000000     		ar = 24069.8456730232m²