Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58381 / 86221
↖ ↑ ↗
← S 49.291098°
W 19.651795°		 ← 199.20 m → S 49.291098°
W 19.649048°		 →
↑
199.16 m
↓
↑
199.16 m
↓
S 49.292889°
W 19.651795°		 ← 199.20 m →
39 672 m²		 S 49.292889°
W 19.649048°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58381 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86221 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445415496826172 y=0.657817840576172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445415496826172 × 217)
    floor (0.445415496826172 × 131072)
    floor (58381.5)     		tx = 58381
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.657817840576172 × 217)
    floor (0.657817840576172 × 131072)
    floor (86221.5)     		ty = 86221
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58381 / 86221 ti = "17/58381/86221"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58381/86221.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58381 ÷ 217
    58381 ÷ 131072     		x = 0.445411682128906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86221 ÷ 217
    86221 ÷ 131072     		y = 0.657814025878906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445411682128906 × 2 - 1) × π
    -0.109176635742188 × 3.1415926535     		Λ = -0.34298852
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.657814025878906 × 2 - 1) × π
    -0.315628051757812 × 3.1415926535     		Φ = -0.991574768640862
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34298852} λ = -0.34298852}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.991574768640862))-π/2
    2×atan(0.370992004195419)-π/2
    2×0.355252189142337-π/2
    0.710504378284674-1.57079632675     		φ = -0.86029195
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34298852} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.651795°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86029195 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.291098°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58381 KachelY 86221 -0.34298852 -0.86029195 -19.651795 -49.291098
    Oben rechts KachelX + 1 58382 KachelY 86221 -0.34294058 -0.86029195 -19.649048 -49.291098
    Unten links KachelX 58381 KachelY + 1 86222 -0.34298852 -0.86032321 -19.651795 -49.292889
    Unten rechts KachelX + 1 58382 KachelY + 1 86222 -0.34294058 -0.86032321 -19.649048 -49.292889
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86029195--0.86032321) × R
    3.12599999999774e-05 × 6371000     		dl = 199.157459999856m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86029195--0.86032321) × R
    3.12599999999774e-05 × 6371000     		dr = 199.157459999856m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34298852--0.34294058) × cos(-0.86029195) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.652216188225768 × 6371000     		do = 199.203611928935m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34298852--0.34294058) × cos(-0.86032321) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.65219249179522 × 6371000     		du = 199.196374429099m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86029195)-sin(-0.86032321))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.652216188225768-0.65219249179522)×R²
    abs(-0.34294058--0.34298852)×2.36964305485587e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36964305485587e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36964305485587e-05×40589641000000     		ar = 39672.1646766838m²