Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58381 / 36343
↖ ↑ ↗
← N 62.279423°
W 19.651795°		 ← 142.07 m → N 62.279423°
W 19.649048°		 →
↑
142.07 m
↓
↑
142.07 m
↓
N 62.278145°
W 19.651795°		 ← 142.08 m →
20 185 m²		 N 62.278145°
W 19.649048°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58381 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36343 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445415496826172 y=0.277278900146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445415496826172 × 217)
    floor (0.445415496826172 × 131072)
    floor (58381.5)     		tx = 58381
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.277278900146484 × 217)
    floor (0.277278900146484 × 131072)
    floor (36343.5)     		ty = 36343
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58381 / 36343 ti = "17/58381/36343"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58381/36343.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58381 ÷ 217
    58381 ÷ 131072     		x = 0.445411682128906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36343 ÷ 217
    36343 ÷ 131072     		y = 0.277275085449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445411682128906 × 2 - 1) × π
    -0.109176635742188 × 3.1415926535     		Λ = -0.34298852
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.277275085449219 × 2 - 1) × π
    0.445449829101562 × 3.1415926535     		Φ = 1.3994219106083
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34298852} λ = -0.34298852}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.3994219106083))-π/2
    2×atan(4.05285637623032)-π/2
    2×1.328888659156-π/2
    2.65777731831201-1.57079632675     		φ = 1.08698099
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34298852} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.651795°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.08698099 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.279423°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58381 KachelY 36343 -0.34298852 1.08698099 -19.651795 62.279423
    Oben rechts KachelX + 1 58382 KachelY 36343 -0.34294058 1.08698099 -19.649048 62.279423
    Unten links KachelX 58381 KachelY + 1 36344 -0.34298852 1.08695869 -19.651795 62.278145
    Unten rechts KachelX + 1 58382 KachelY + 1 36344 -0.34294058 1.08695869 -19.649048 62.278145
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.08698099-1.08695869) × R
    2.23000000001417e-05 × 6371000     		dl = 142.073300000902m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.08698099-1.08695869) × R
    2.23000000001417e-05 × 6371000     		dr = 142.073300000902m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34298852--0.34294058) × cos(1.08698099) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.465159990688489 × 6371000     		do = 142.071834374496m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34298852--0.34294058) × cos(1.08695869) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.465179731126633 × 6371000     		du = 142.077863612424m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.08698099)-sin(1.08695869))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.465159990688489-0.465179731126633)×R²
    abs(-0.34294058--0.34298852)×1.97404381449551e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.97404381449551e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.97404381449551e-05×40589641000000     		ar = 20185.0426443173m²