Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58380 / 86588
↖ ↑ ↗
← S 49.944151°
W 19.654541°		 ← 196.51 m → S 49.944151°
W 19.651795°		 →
↑
196.48 m
↓
↑
196.48 m
↓
S 49.945918°
W 19.654541°		 ← 196.50 m →
38 610 m²		 S 49.945918°
W 19.651795°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58380 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86588 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445407867431641 y=0.660617828369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445407867431641 × 217)
    floor (0.445407867431641 × 131072)
    floor (58380.5)     		tx = 58380
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.660617828369141 × 217)
    floor (0.660617828369141 × 131072)
    floor (86588.5)     		ty = 86588
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58380 / 86588 ti = "17/58380/86588"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58380/86588.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58380 ÷ 217
    58380 ÷ 131072     		x = 0.445404052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86588 ÷ 217
    86588 ÷ 131072     		y = 0.660614013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445404052734375 × 2 - 1) × π
    -0.10919189453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34303645
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.660614013671875 × 2 - 1) × π
    -0.32122802734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.00916761080142
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34303645} λ = -0.34303645}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00916761080142))-π/2
    2×atan(0.364522277729579)-π/2
    2×0.349553230533081-π/2
    0.699106461066162-1.57079632675     		φ = -0.87168987
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34303645} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.654541°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87168987 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.944151°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58380 KachelY 86588 -0.34303645 -0.87168987 -19.654541 -49.944151
    Oben rechts KachelX + 1 58381 KachelY 86588 -0.34298852 -0.87168987 -19.651795 -49.944151
    Unten links KachelX 58380 KachelY + 1 86589 -0.34303645 -0.87172071 -19.654541 -49.945918
    Unten rechts KachelX + 1 58381 KachelY + 1 86589 -0.34298852 -0.87172071 -19.651795 -49.945918
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87168987--0.87172071) × R
    3.08399999999764e-05 × 6371000     		dl = 196.48163999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87168987--0.87172071) × R
    3.08399999999764e-05 × 6371000     		dr = 196.48163999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34303645--0.34298852) × cos(-0.87168987) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.643534010611257 × 6371000     		do = 196.510851854188m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34303645--0.34298852) × cos(-0.87172071) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.643510404828965 × 6371000     		du = 196.503643544587m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87168987)-sin(-0.87172071))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.643534010611257-0.643510404828965)×R²
    abs(-0.34298852--0.34303645)×2.36057822923241e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.36057822923241e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.36057822923241e-05×40589641000000     		ar = 38610.0663028002m²