Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58378 / 38426
↖ ↑ ↗
← N 59.498092°
W 19.660034°		 ← 155.02 m → N 59.498092°
W 19.657288°		 →
↑
155.07 m
↓
↑
155.07 m
↓
N 59.496697°
W 19.660034°		 ← 155.03 m →
24 040 m²		 N 59.496697°
W 19.657288°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58378 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38426 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445392608642578 y=0.293170928955078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445392608642578 × 217)
    floor (0.445392608642578 × 131072)
    floor (58378.5)     		tx = 58378
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.293170928955078 × 217)
    floor (0.293170928955078 × 131072)
    floor (38426.5)     		ty = 38426
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58378 / 38426 ti = "17/58378/38426"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58378/38426.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58378 ÷ 217
    58378 ÷ 131072     		x = 0.445388793945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38426 ÷ 217
    38426 ÷ 131072     		y = 0.293167114257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445388793945312 × 2 - 1) × π
    -0.109222412109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34313233
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.293167114257812 × 2 - 1) × π
    0.413665771484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.29956934869972
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34313233} λ = -0.34313233}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29956934869972))-π/2
    2×atan(3.66771682044427)-π/2
    2×1.30461696122187-π/2
    2.60923392244374-1.57079632675     		φ = 1.03843760
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34313233} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.660034°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03843760 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.498092°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58378 KachelY 38426 -0.34313233 1.03843760 -19.660034 59.498092
    Oben rechts KachelX + 1 58379 KachelY 38426 -0.34308439 1.03843760 -19.657288 59.498092
    Unten links KachelX 58378 KachelY + 1 38427 -0.34313233 1.03841326 -19.660034 59.496697
    Unten rechts KachelX + 1 58379 KachelY + 1 38427 -0.34308439 1.03841326 -19.657288 59.496697
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03843760-1.03841326) × R
    2.43399999999561e-05 × 6371000     		dl = 155.07013999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03843760-1.03841326) × R
    2.43399999999561e-05 × 6371000     		dr = 155.07013999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34313233--0.34308439) × cos(1.03843760) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.507567059183797 × 6371000     		do = 155.024044650733m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34313233--0.34308439) × cos(1.03841326) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.507588030675766 × 6371000     		du = 155.030449884187m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03843760)-sin(1.03841326))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.507567059183797-0.507588030675766)×R²
    abs(-0.34308439--0.34313233)×2.09714919690018e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.09714919690018e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.09714919690018e-05×40589641000000     		ar = 24040.0969387341m²