Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58378 / 28550
↖ ↑ ↗
← N 70.723540°
W 19.660034°		 ← 100.83 m → N 70.723540°
W 19.657288°		 →
↑
100.85 m
↓
↑
100.85 m
↓
N 70.722633°
W 19.660034°		 ← 100.83 m →
10 169 m²		 N 70.722633°
W 19.657288°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58378 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28550 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445392608642578 y=0.217823028564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445392608642578 × 217)
    floor (0.445392608642578 × 131072)
    floor (58378.5)     		tx = 58378
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.217823028564453 × 217)
    floor (0.217823028564453 × 131072)
    floor (28550.5)     		ty = 28550
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58378 / 28550 ti = "17/58378/28550"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58378/28550.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58378 ÷ 217
    58378 ÷ 131072     		x = 0.445388793945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28550 ÷ 217
    28550 ÷ 131072     		y = 0.217819213867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445388793945312 × 2 - 1) × π
    -0.109222412109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34313233
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.217819213867188 × 2 - 1) × π
    0.564361572265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.7729941693474
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34313233} λ = -0.34313233}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7729941693474))-π/2
    2×atan(5.88845803309229)-π/2
    2×1.40257747818988-π/2
    2.80515495637976-1.57079632675     		φ = 1.23435863
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34313233} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.660034°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23435863 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.723540°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58378 KachelY 28550 -0.34313233 1.23435863 -19.660034 70.723540
    Oben rechts KachelX + 1 58379 KachelY 28550 -0.34308439 1.23435863 -19.657288 70.723540
    Unten links KachelX 58378 KachelY + 1 28551 -0.34313233 1.23434280 -19.660034 70.722633
    Unten rechts KachelX + 1 58379 KachelY + 1 28551 -0.34308439 1.23434280 -19.657288 70.722633
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23435863-1.23434280) × R
    1.58299999999389e-05 × 6371000     		dl = 100.852929999611m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23435863-1.23434280) × R
    1.58299999999389e-05 × 6371000     		dr = 100.852929999611m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34313233--0.34308439) × cos(1.23435863) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.330126605303094 × 6371000     		do = 100.829162718319m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34313233--0.34308439) × cos(1.23434280) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.330141547779112 × 6371000     		du = 100.833726535114m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23435863)-sin(1.23434280))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.330126605303094-0.330141547779112)×R²
    abs(-0.34308439--0.34313233)×1.49424760175765e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.49424760175765e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.49424760175765e-05×40589641000000     		ar = 10169.1466268282m²