Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58377 / 86174
↖ ↑ ↗
← S 49.206832°
W 19.662781°		 ← 199.50 m → S 49.206832°
W 19.660034°		 →
↑
199.54 m
↓
↑
199.54 m
↓
S 49.208626°
W 19.662781°		 ← 199.50 m →
39 808 m²		 S 49.208626°
W 19.660034°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58377 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86174 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445384979248047 y=0.657459259033203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445384979248047 × 217)
    floor (0.445384979248047 × 131072)
    floor (58377.5)     		tx = 58377
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.657459259033203 × 217)
    floor (0.657459259033203 × 131072)
    floor (86174.5)     		ty = 86174
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58377 / 86174 ti = "17/58377/86174"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58377/86174.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58377 ÷ 217
    58377 ÷ 131072     		x = 0.445381164550781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86174 ÷ 217
    86174 ÷ 131072     		y = 0.657455444335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445381164550781 × 2 - 1) × π
    -0.109237670898438 × 3.1415926535     		Λ = -0.34318026
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.657455444335938 × 2 - 1) × π
    -0.314910888671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.989321734358719
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34318026} λ = -0.34318026}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.989321734358719))-π/2
    2×atan(0.37182880421486)-π/2
    2×0.355987549367261-π/2
    0.711975098734522-1.57079632675     		φ = -0.85882123
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34318026} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.662781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85882123 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.206832°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58377 KachelY 86174 -0.34318026 -0.85882123 -19.662781 -49.206832
    Oben rechts KachelX + 1 58378 KachelY 86174 -0.34313233 -0.85882123 -19.660034 -49.206832
    Unten links KachelX 58377 KachelY + 1 86175 -0.34318026 -0.85885255 -19.662781 -49.208626
    Unten rechts KachelX + 1 58378 KachelY + 1 86175 -0.34313233 -0.85885255 -19.660034 -49.208626
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85882123--0.85885255) × R
    3.13200000000569e-05 × 6371000     		dl = 199.539720000362m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85882123--0.85885255) × R
    3.13200000000569e-05 × 6371000     		dr = 199.539720000362m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34318026--0.34313233) × cos(-0.85882123) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.653330336754579 × 6371000     		do = 199.502277892084m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34318026--0.34313233) × cos(-0.85885255) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.653306624908947 × 6371000     		du = 199.495037194767m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85882123)-sin(-0.85885255))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.653330336754579-0.653306624908947)×R²
    abs(-0.34313233--0.34318026)×2.37118456323238e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37118456323238e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37118456323238e-05×40589641000000     		ar = 39807.9062698054m²