Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58377 / 35866
↖ ↑ ↗
← N 62.882701°
W 19.662781°		 ← 139.19 m → N 62.882701°
W 19.660034°		 →
↑
139.21 m
↓
↑
139.21 m
↓
N 62.881449°
W 19.662781°		 ← 139.19 m →
19 376 m²		 N 62.881449°
W 19.660034°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58377 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35866 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445384979248047 y=0.273639678955078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445384979248047 × 217)
    floor (0.445384979248047 × 131072)
    floor (58377.5)     		tx = 58377
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.273639678955078 × 217)
    floor (0.273639678955078 × 131072)
    floor (35866.5)     		ty = 35866
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58377 / 35866 ti = "17/58377/35866"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58377/35866.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58377 ÷ 217
    58377 ÷ 131072     		x = 0.445381164550781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35866 ÷ 217
    35866 ÷ 131072     		y = 0.273635864257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445381164550781 × 2 - 1) × π
    -0.109237670898438 × 3.1415926535     		Λ = -0.34318026
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.273635864257812 × 2 - 1) × π
    0.452728271484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.42228781172707
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34318026} λ = -0.34318026}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42228781172707))-π/2
    2×atan(4.14659622818718)-π/2
    2×1.33415325018182-π/2
    2.66830650036364-1.57079632675     		φ = 1.09751017
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34318026} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.662781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09751017 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.882701°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58377 KachelY 35866 -0.34318026 1.09751017 -19.662781 62.882701
    Oben rechts KachelX + 1 58378 KachelY 35866 -0.34313233 1.09751017 -19.660034 62.882701
    Unten links KachelX 58377 KachelY + 1 35867 -0.34318026 1.09748832 -19.662781 62.881449
    Unten rechts KachelX + 1 58378 KachelY + 1 35867 -0.34313233 1.09748832 -19.660034 62.881449
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09751017-1.09748832) × R
    2.18499999999899e-05 × 6371000     		dl = 139.206349999936m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09751017-1.09748832) × R
    2.18499999999899e-05 × 6371000     		dr = 139.206349999936m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34318026--0.34313233) × cos(1.09751017) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.455813667976307 × 6371000     		do = 139.188186955076m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34318026--0.34313233) × cos(1.09748832) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.455833116011089 × 6371000     		du = 139.194125646457m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09751017)-sin(1.09748832))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.455813667976307-0.455833116011089)×R²
    abs(-0.34313233--0.34318026)×1.94480347822656e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.94480347822656e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.94480347822656e-05×40589641000000     		ar = 19376.2928217727m²