Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58376 / 28543
↖ ↑ ↗
← N 70.729886°
W 19.665527°		 ← 100.80 m → N 70.729886°
W 19.662781°		 →
↑
100.79 m
↓
↑
100.79 m
↓
N 70.728980°
W 19.665527°		 ← 100.80 m →
10 160 m²		 N 70.728980°
W 19.662781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58376 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28543 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445377349853516 y=0.217769622802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445377349853516 × 217)
    floor (0.445377349853516 × 131072)
    floor (58376.5)     		tx = 58376
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.217769622802734 × 217)
    floor (0.217769622802734 × 131072)
    floor (28543.5)     		ty = 28543
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58376 / 28543 ti = "17/58376/28543"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58376/28543.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58376 ÷ 217
    58376 ÷ 131072     		x = 0.44537353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28543 ÷ 217
    28543 ÷ 131072     		y = 0.217765808105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44537353515625 × 2 - 1) × π
    -0.1092529296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34322820
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.217765808105469 × 2 - 1) × π
    0.564468383789062 × 3.1415926535     		Φ = 1.77332972764474
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34322820} λ = -0.34322820}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.77332972764474))-π/2
    2×atan(5.89043428559925)-π/2
    2×1.40263285777954-π/2
    2.80526571555907-1.57079632675     		φ = 1.23446939
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34322820} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.665527°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23446939 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.729886°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58376 KachelY 28543 -0.34322820 1.23446939 -19.665527 70.729886
    Oben rechts KachelX + 1 58377 KachelY 28543 -0.34318026 1.23446939 -19.662781 70.729886
    Unten links KachelX 58376 KachelY + 1 28544 -0.34322820 1.23445357 -19.665527 70.728980
    Unten rechts KachelX + 1 58377 KachelY + 1 28544 -0.34318026 1.23445357 -19.662781 70.728980
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23446939-1.23445357) × R
    1.58200000002218e-05 × 6371000     		dl = 100.789220001413m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23446939-1.23445357) × R
    1.58200000002218e-05 × 6371000     		dr = 100.789220001413m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34322820--0.34318026) × cos(1.23446939) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.330022052853512 × 6371000     		do = 100.797229709037m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34322820--0.34318026) × cos(1.23445357) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.330036986468592 × 6371000     		du = 100.801790819474m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23446939)-sin(1.23445357))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.330022052853512-0.330036986468592)×R²
    abs(-0.34318026--0.34322820)×1.49336150804813e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.49336150804813e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.49336150804813e-05×40589641000000     		ar = 10159.5040161969m²