Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58375 / 28544
↖ ↑ ↗
← N 70.728980°
W 19.668274°		 ← 100.80 m → N 70.728980°
W 19.665527°		 →
↑
100.79 m
↓
↑
100.79 m
↓
N 70.728073°
W 19.668274°		 ← 100.81 m →
10 160 m²		 N 70.728073°
W 19.665527°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58375 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28544 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445369720458984 y=0.217777252197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445369720458984 × 217)
    floor (0.445369720458984 × 131072)
    floor (58375.5)     		tx = 58375
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.217777252197266 × 217)
    floor (0.217777252197266 × 131072)
    floor (28544.5)     		ty = 28544
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58375 / 28544 ti = "17/58375/28544"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58375/28544.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58375 ÷ 217
    58375 ÷ 131072     		x = 0.445365905761719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28544 ÷ 217
    28544 ÷ 131072     		y = 0.2177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445365905761719 × 2 - 1) × π
    -0.109268188476562 × 3.1415926535     		Λ = -0.34327614
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2177734375 × 2 - 1) × π
    0.564453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.77328179074512
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34327614} λ = -0.34327614}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.77328179074512))-π/2
    2×atan(5.89015192321003)-π/2
    2×1.40262494748353-π/2
    2.80524989496705-1.57079632675     		φ = 1.23445357
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34327614} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.668274°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23445357 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.728980°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58375 KachelY 28544 -0.34327614 1.23445357 -19.668274 70.728980
    Oben rechts KachelX + 1 58376 KachelY 28544 -0.34322820 1.23445357 -19.665527 70.728980
    Unten links KachelX 58375 KachelY + 1 28545 -0.34327614 1.23443775 -19.668274 70.728073
    Unten rechts KachelX + 1 58376 KachelY + 1 28545 -0.34322820 1.23443775 -19.665527 70.728073
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23445357-1.23443775) × R
    1.58199999999997e-05 × 6371000     		dl = 100.789219999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23445357-1.23443775) × R
    1.58199999999997e-05 × 6371000     		dr = 100.789219999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34327614--0.34322820) × cos(1.23445357) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.330036986468592 × 6371000     		do = 100.80179081959m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34327614--0.34322820) × cos(1.23443775) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.330051920001073 × 6371000     		du = 100.806351904799m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23445357)-sin(1.23443775))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.330036986468592-0.330051920001073)×R²
    abs(-0.34322820--0.34327614)×1.4933532481054e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.4933532481054e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.4933532481054e-05×40589641000000     		ar = 10159.9637256892m²