Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58374 / 60414
↖ ↑ ↗
← N 13.928736°
W 19.671021°		 ← 296.44 m → N 13.928736°
W 19.668274°		 →
↑
296.44 m
↓
↑
296.44 m
↓
N 13.926070°
W 19.671021°		 ← 296.45 m →
87 879 m²		 N 13.926070°
W 19.668274°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58374 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60414 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445362091064453 y=0.460926055908203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445362091064453 × 217)
    floor (0.445362091064453 × 131072)
    floor (58374.5)     		tx = 58374
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.460926055908203 × 217)
    floor (0.460926055908203 × 131072)
    floor (60414.5)     		ty = 60414
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58374 / 60414 ti = "17/58374/60414"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58374/60414.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58374 ÷ 217
    58374 ÷ 131072     		x = 0.445358276367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60414 ÷ 217
    60414 ÷ 131072     		y = 0.460922241210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445358276367188 × 2 - 1) × π
    -0.109283447265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34332408
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.460922241210938 × 2 - 1) × π
    0.078155517578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.245532799853928
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34332408} λ = -0.34332408}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.245532799853928))-π/2
    2×atan(1.27830221102896)-π/2
    2×0.90694931183817-π/2
    1.81389862367634-1.57079632675     		φ = 0.24310230
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34332408} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.671021°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.24310230 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.928736°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58374 KachelY 60414 -0.34332408 0.24310230 -19.671021 13.928736
    Oben rechts KachelX + 1 58375 KachelY 60414 -0.34327614 0.24310230 -19.668274 13.928736
    Unten links KachelX 58374 KachelY + 1 60415 -0.34332408 0.24305577 -19.671021 13.926070
    Unten rechts KachelX + 1 58375 KachelY + 1 60415 -0.34327614 0.24305577 -19.668274 13.926070
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.24310230-0.24305577) × R
    4.65299999999891e-05 × 6371000     		dl = 296.44262999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.24310230-0.24305577) × R
    4.65299999999891e-05 × 6371000     		dr = 296.44262999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34332408--0.34327614) × cos(0.24310230) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.970595876973497 × 6371000     		do = 296.444963965385m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34332408--0.34327614) × cos(0.24305577) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.970607076385217 × 6371000     		du = 296.448384553997m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.24310230)-sin(0.24305577))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.970595876973497-0.970607076385217)×R²
    abs(-0.34327614--0.34332408)×1.11994117203418e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.11994117203418e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.11994117203418e-05×40589641000000     		ar = 87879.4317880939m²