Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58374 / 36220
↖ ↑ ↗
← N 62.436159°
W 19.671021°		 ← 141.33 m → N 62.436159°
W 19.668274°		 →
↑
141.37 m
↓
↑
141.37 m
↓
N 62.434887°
W 19.671021°		 ← 141.34 m →
19 981 m²		 N 62.434887°
W 19.668274°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58374 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36220 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445362091064453 y=0.276340484619141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445362091064453 × 217)
    floor (0.445362091064453 × 131072)
    floor (58374.5)     		tx = 58374
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.276340484619141 × 217)
    floor (0.276340484619141 × 131072)
    floor (36220.5)     		ty = 36220
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58374 / 36220 ti = "17/58374/36220"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58374/36220.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58374 ÷ 217
    58374 ÷ 131072     		x = 0.445358276367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36220 ÷ 217
    36220 ÷ 131072     		y = 0.276336669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445358276367188 × 2 - 1) × π
    -0.109283447265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34332408
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.276336669921875 × 2 - 1) × π
    0.44732666015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.40531814926157
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34332408} λ = -0.34332408}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.40531814926157))-π/2
    2×atan(4.0768235733729)-π/2
    2×1.33025643194264-π/2
    2.66051286388528-1.57079632675     		φ = 1.08971654
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34332408} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.671021°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.08971654 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.436159°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58374 KachelY 36220 -0.34332408 1.08971654 -19.671021 62.436159
    Oben rechts KachelX + 1 58375 KachelY 36220 -0.34327614 1.08971654 -19.668274 62.436159
    Unten links KachelX 58374 KachelY + 1 36221 -0.34332408 1.08969435 -19.671021 62.434887
    Unten rechts KachelX + 1 58375 KachelY + 1 36221 -0.34327614 1.08969435 -19.668274 62.434887
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.08971654-1.08969435) × R
    2.2189999999922e-05 × 6371000     		dl = 141.372489999503m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.08971654-1.08969435) × R
    2.2189999999922e-05 × 6371000     		dr = 141.372489999503m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34332408--0.34327614) × cos(1.08971654) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.462736671556855 × 6371000     		do = 141.331690335297m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34332408--0.34327614) × cos(1.08969435) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.462756342784347 × 6371000     		du = 141.33769843451m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.08971654)-sin(1.08969435))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.462736671556855-0.462756342784347)×R²
    abs(-0.34327614--0.34332408)×1.96712274921906e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.96712274921906e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.96712274921906e-05×40589641000000     		ar = 19980.8376693558m²