Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58370 / 35846
↖ ↑ ↗
← N 62.907729°
W 19.682007°		 ← 139.07 m → N 62.907729°
W 19.679260°		 →
↑
139.08 m
↓
↑
139.08 m
↓
N 62.906478°
W 19.682007°		 ← 139.08 m →
19 342 m²		 N 62.906478°
W 19.679260°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58370 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35846 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445331573486328 y=0.273487091064453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445331573486328 × 217)
    floor (0.445331573486328 × 131072)
    floor (58370.5)     		tx = 58370
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.273487091064453 × 217)
    floor (0.273487091064453 × 131072)
    floor (35846.5)     		ty = 35846
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58370 / 35846 ti = "17/58370/35846"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58370/35846.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58370 ÷ 217
    58370 ÷ 131072     		x = 0.445327758789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35846 ÷ 217
    35846 ÷ 131072     		y = 0.273483276367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445327758789062 × 2 - 1) × π
    -0.109344482421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34351582
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.273483276367188 × 2 - 1) × π
    0.453033447265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.42324654971947
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34351582} λ = -0.34351582}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42324654971947))-π/2
    2×atan(4.1505736338706)-π/2
    2×1.33437165991071-π/2
    2.66874331982142-1.57079632675     		φ = 1.09794699
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34351582} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.682007°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09794699 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.907729°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58370 KachelY 35846 -0.34351582 1.09794699 -19.682007 62.907729
    Oben rechts KachelX + 1 58371 KachelY 35846 -0.34346789 1.09794699 -19.679260 62.907729
    Unten links KachelX 58370 KachelY + 1 35847 -0.34351582 1.09792516 -19.682007 62.906478
    Unten rechts KachelX + 1 58371 KachelY + 1 35847 -0.34346789 1.09792516 -19.679260 62.906478
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09794699-1.09792516) × R
    2.18300000001115e-05 × 6371000     		dl = 139.07893000071m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09794699-1.09792516) × R
    2.18300000001115e-05 × 6371000     		dr = 139.07893000071m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34351582--0.34346789) × cos(1.09794699) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.455424821843085 × 6371000     		do = 139.069448110478m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34351582--0.34346789) × cos(1.09792516) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.455444256421339 × 6371000     		du = 139.075382692746m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09794699)-sin(1.09792516))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.455424821843085-0.455444256421339)×R²
    abs(-0.34346789--0.34351582)×1.94345782549288e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.94345782549288e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.94345782549288e-05×40589641000000     		ar = 19342.0427274439m²