Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58364 / 35772
↖ ↑ ↗
← N 63.000147°
W 19.698486°		 ← 138.63 m → N 63.000147°
W 19.695740°		 →
↑
138.70 m
↓
↑
138.70 m
↓
N 62.998899°
W 19.698486°		 ← 138.64 m →
19 228 m²		 N 62.998899°
W 19.695740°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58364 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35772 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445285797119141 y=0.272922515869141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445285797119141 × 217)
    floor (0.445285797119141 × 131072)
    floor (58364.5)     		tx = 58364
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.272922515869141 × 217)
    floor (0.272922515869141 × 131072)
    floor (35772.5)     		ty = 35772
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58364 / 35772 ti = "17/58364/35772"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58364/35772.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58364 ÷ 217
    58364 ÷ 131072     		x = 0.445281982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35772 ÷ 217
    35772 ÷ 131072     		y = 0.272918701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445281982421875 × 2 - 1) × π
    -0.10943603515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34380344
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.272918701171875 × 2 - 1) × π
    0.45416259765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.42679388029135
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34380344} λ = -0.34380344}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42679388029135))-π/2
    2×atan(4.1653232360033)-π/2
    2×1.33517815658455-π/2
    2.67035631316911-1.57079632675     		φ = 1.09955999
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34380344} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.698486°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09955999 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.000147°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58364 KachelY 35772 -0.34380344 1.09955999 -19.698486 63.000147
    Oben rechts KachelX + 1 58365 KachelY 35772 -0.34375551 1.09955999 -19.695740 63.000147
    Unten links KachelX 58364 KachelY + 1 35773 -0.34380344 1.09953822 -19.698486 62.998899
    Unten rechts KachelX + 1 58365 KachelY + 1 35773 -0.34375551 1.09953822 -19.695740 62.998899
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09955999-1.09953822) × R
    2.1770000000032e-05 × 6371000     		dl = 138.696670000204m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09955999-1.09953822) × R
    2.1770000000032e-05 × 6371000     		dr = 138.696670000204m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34380344--0.34375551) × cos(1.09955999) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.453988217653325 × 6371000     		do = 138.630763738786m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34380344--0.34375551) × cos(1.09953822) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.454007614783089 × 6371000     		du = 138.636686885707m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09955999)-sin(1.09953822))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.453988217653325-0.454007614783089)×R²
    abs(-0.34375551--0.34380344)×1.93971297637874e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.93971297637874e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.93971297637874e-05×40589641000000     		ar = 19228.0360513198m²