Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58363 / 35769
↖ ↑ ↗
← N 63.003887°
W 19.701233°		 ← 138.64 m → N 63.003887°
W 19.698486°		 →
↑
138.63 m
↓
↑
138.63 m
↓
N 63.002640°
W 19.701233°		 ← 138.65 m →
19 221 m²		 N 63.002640°
W 19.698486°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58363 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35769 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445278167724609 y=0.272899627685547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445278167724609 × 217)
    floor (0.445278167724609 × 131072)
    floor (58363.5)     		tx = 58363
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.272899627685547 × 217)
    floor (0.272899627685547 × 131072)
    floor (35769.5)     		ty = 35769
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58363 / 35769 ti = "17/58363/35769"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58363/35769.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58363 ÷ 217
    58363 ÷ 131072     		x = 0.445274353027344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35769 ÷ 217
    35769 ÷ 131072     		y = 0.272895812988281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445274353027344 × 2 - 1) × π
    -0.109451293945312 × 3.1415926535     		Λ = -0.34385138
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.272895812988281 × 2 - 1) × π
    0.454208374023438 × 3.1415926535     		Φ = 1.42693769099021
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34385138} λ = -0.34385138}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42693769099021))-π/2
    2×atan(4.16592229712352)-π/2
    2×1.33521079867483-π/2
    2.67042159734965-1.57079632675     		φ = 1.09962527
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34385138} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.701233°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09962527 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.003887°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58363 KachelY 35769 -0.34385138 1.09962527 -19.701233 63.003887
    Oben rechts KachelX + 1 58364 KachelY 35769 -0.34380344 1.09962527 -19.698486 63.003887
    Unten links KachelX 58363 KachelY + 1 35770 -0.34385138 1.09960351 -19.701233 63.002640
    Unten rechts KachelX + 1 58364 KachelY + 1 35770 -0.34380344 1.09960351 -19.698486 63.002640
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09962527-1.09960351) × R
    2.17600000000928e-05 × 6371000     		dl = 138.632960000591m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09962527-1.09960351) × R
    2.17600000000928e-05 × 6371000     		dr = 138.632960000591m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34385138--0.34380344) × cos(1.09962527) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.45393005170423 × 6371000     		do = 138.641921949912m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34385138--0.34380344) × cos(1.09960351) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.453949440568876 × 6371000     		du = 138.647843808244m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09962527)-sin(1.09960351))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.45393005170423-0.453949440568876)×R²
    abs(-0.34380344--0.34385138)×1.93888646451978e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.93888646451978e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.93888646451978e-05×40589641000000     		ar = 19220.7505030663m²