Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58362 / 86682
↖ ↑ ↗
← S 50.110011°
W 19.703980°		 ← 195.87 m → S 50.110011°
W 19.701233°		 →
↑
195.84 m
↓
↑
195.84 m
↓
S 50.111772°
W 19.703980°		 ← 195.87 m →
38 360 m²		 S 50.111772°
W 19.701233°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58362 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86682 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445270538330078 y=0.661334991455078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445270538330078 × 217)
    floor (0.445270538330078 × 131072)
    floor (58362.5)     		tx = 58362
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.661334991455078 × 217)
    floor (0.661334991455078 × 131072)
    floor (86682.5)     		ty = 86682
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58362 / 86682 ti = "17/58362/86682"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58362/86682.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58362 ÷ 217
    58362 ÷ 131072     		x = 0.445266723632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86682 ÷ 217
    86682 ÷ 131072     		y = 0.661331176757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445266723632812 × 2 - 1) × π
    -0.109466552734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34389932
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.661331176757812 × 2 - 1) × π
    -0.322662353515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.01367367936571
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34389932} λ = -0.34389932}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01367367936571))-π/2
    2×atan(0.362883410549911)-π/2
    2×0.348105825866252-π/2
    0.696211651732505-1.57079632675     		φ = -0.87458468
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34389932} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.703980°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87458468 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.110011°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58362 KachelY 86682 -0.34389932 -0.87458468 -19.703980 -50.110011
    Oben rechts KachelX + 1 58363 KachelY 86682 -0.34385138 -0.87458468 -19.701233 -50.110011
    Unten links KachelX 58362 KachelY + 1 86683 -0.34389932 -0.87461542 -19.703980 -50.111772
    Unten rechts KachelX + 1 58363 KachelY + 1 86683 -0.34385138 -0.87461542 -19.701233 -50.111772
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87458468--0.87461542) × R
    3.07400000000291e-05 × 6371000     		dl = 195.844540000185m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87458468--0.87461542) × R
    3.07400000000291e-05 × 6371000     		dr = 195.844540000185m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34389932--0.34385138) × cos(-0.87458468) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.641315579038511 × 6371000     		do = 195.874285301464m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34389932--0.34385138) × cos(-0.87461542) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.641291992633852 × 6371000     		du = 195.867081406367m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87458468)-sin(-0.87461542))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.641315579038511-0.641291992633852)×R²
    abs(-0.34385138--0.34389932)×2.35864046588263e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.35864046588263e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.35864046588263e-05×40589641000000     		ar = 38360.2038839679m²