Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58362 / 35771
↖ ↑ ↗
← N 63.001394°
W 19.703980°		 ← 138.65 m → N 63.001394°
W 19.701233°		 →
↑
138.63 m
↓
↑
138.63 m
↓
N 63.000147°
W 19.703980°		 ← 138.66 m →
19 222 m²		 N 63.000147°
W 19.701233°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58362 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35771 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445270538330078 y=0.272914886474609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445270538330078 × 217)
    floor (0.445270538330078 × 131072)
    floor (58362.5)     		tx = 58362
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.272914886474609 × 217)
    floor (0.272914886474609 × 131072)
    floor (35771.5)     		ty = 35771
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58362 / 35771 ti = "17/58362/35771"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58362/35771.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58362 ÷ 217
    58362 ÷ 131072     		x = 0.445266723632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35771 ÷ 217
    35771 ÷ 131072     		y = 0.272911071777344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445266723632812 × 2 - 1) × π
    -0.109466552734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34389932
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.272911071777344 × 2 - 1) × π
    0.454177856445312 × 3.1415926535     		Φ = 1.42684181719097
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34389932} λ = -0.34389932}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42684181719097))-π/2
    2×atan(4.16552291347107)-π/2
    2×1.33518903774606-π/2
    2.67037807549212-1.57079632675     		φ = 1.09958175
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34389932} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.703980°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09958175 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.001394°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58362 KachelY 35771 -0.34389932 1.09958175 -19.703980 63.001394
    Oben rechts KachelX + 1 58363 KachelY 35771 -0.34385138 1.09958175 -19.701233 63.001394
    Unten links KachelX 58362 KachelY + 1 35772 -0.34389932 1.09955999 -19.703980 63.000147
    Unten rechts KachelX + 1 58363 KachelY + 1 35772 -0.34385138 1.09955999 -19.701233 63.000147
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09958175-1.09955999) × R
    2.17600000000928e-05 × 6371000     		dl = 138.632960000591m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09958175-1.09955999) × R
    2.17600000000928e-05 × 6371000     		dr = 138.632960000591m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34389932--0.34385138) × cos(1.09958175) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.453968829218577 × 6371000     		do = 138.653765601087m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34389932--0.34385138) × cos(1.09955999) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.453988217653325 × 6371000     		du = 138.659687328117m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09958175)-sin(1.09955999))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.453968829218577-0.453988217653325)×R²
    abs(-0.34385138--0.34389932)×1.93884347480799e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.93884347480799e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.93884347480799e-05×40589641000000     		ar = 19222.392414384m²