Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58359 / 35861
↖ ↑ ↗
← N 62.888960°
W 19.712219°		 ← 139.19 m → N 62.888960°
W 19.709473°		 →
↑
139.14 m
↓
↑
139.14 m
↓
N 62.887708°
W 19.712219°		 ← 139.19 m →
19 367 m²		 N 62.887708°
W 19.709473°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58359 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35861 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445247650146484 y=0.273601531982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445247650146484 × 217)
    floor (0.445247650146484 × 131072)
    floor (58359.5)     		tx = 58359
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.273601531982422 × 217)
    floor (0.273601531982422 × 131072)
    floor (35861.5)     		ty = 35861
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58359 / 35861 ti = "17/58359/35861"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58359/35861.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58359 ÷ 217
    58359 ÷ 131072     		x = 0.445243835449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35861 ÷ 217
    35861 ÷ 131072     		y = 0.273597717285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445243835449219 × 2 - 1) × π
    -0.109512329101562 × 3.1415926535     		Λ = -0.34404313
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.273597717285156 × 2 - 1) × π
    0.452804565429688 × 3.1415926535     		Φ = 1.42252749622517
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34404313} λ = -0.34404313}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42252749622517))-π/2
    2×atan(4.14759022214067)-π/2
    2×1.33420787009001-π/2
    2.66841574018002-1.57079632675     		φ = 1.09761941
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34404313} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.712219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09761941 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.888960°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58359 KachelY 35861 -0.34404313 1.09761941 -19.712219 62.888960
    Oben rechts KachelX + 1 58360 KachelY 35861 -0.34399519 1.09761941 -19.709473 62.888960
    Unten links KachelX 58359 KachelY + 1 35862 -0.34404313 1.09759757 -19.712219 62.887708
    Unten rechts KachelX + 1 58360 KachelY + 1 35862 -0.34399519 1.09759757 -19.709473 62.887708
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09761941-1.09759757) × R
    2.18400000000507e-05 × 6371000     		dl = 139.142640000323m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09761941-1.09759757) × R
    2.18400000000507e-05 × 6371000     		dr = 139.142640000323m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34404313--0.34399519) × cos(1.09761941) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.455716433439595 × 6371000     		do = 139.187528913358m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34404313--0.34399519) × cos(1.09759757) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.455735873661113 × 6371000     		du = 139.193466457401m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09761941)-sin(1.09759757))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.455716433439595-0.455735873661113)×R²
    abs(-0.34399519--0.34404313)×1.94402215178968e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.94402215178968e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.94402215178968e-05×40589641000000     		ar = 19367.3333116258m²