Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58357 / 39083
↖ ↑ ↗
← N 58.569685°
W 19.717712°		 ← 159.23 m → N 58.569685°
W 19.714966°		 →
↑
159.27 m
↓
↑
159.27 m
↓
N 58.568252°
W 19.717712°		 ← 159.24 m →
25 363 m²		 N 58.568252°
W 19.714966°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58357 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39083 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445232391357422 y=0.298183441162109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445232391357422 × 217)
    floor (0.445232391357422 × 131072)
    floor (58357.5)     		tx = 58357
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.298183441162109 × 217)
    floor (0.298183441162109 × 131072)
    floor (39083.5)     		ty = 39083
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58357 / 39083 ti = "17/58357/39083"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58357/39083.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58357 ÷ 217
    58357 ÷ 131072     		x = 0.445228576660156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39083 ÷ 217
    39083 ÷ 131072     		y = 0.298179626464844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445228576660156 × 2 - 1) × π
    -0.109542846679688 × 3.1415926535     		Λ = -0.34413900
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.298179626464844 × 2 - 1) × π
    0.403640747070312 × 3.1415926535     		Φ = 1.26807480564935
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34413900} λ = -0.34413900}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26807480564935))-π/2
    2×atan(3.55400382381067)-π/2
    2×1.29651508280222-π/2
    2.59303016560444-1.57079632675     		φ = 1.02223384
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34413900} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.717712°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02223384 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.569685°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58357 KachelY 39083 -0.34413900 1.02223384 -19.717712 58.569685
    Oben rechts KachelX + 1 58358 KachelY 39083 -0.34409107 1.02223384 -19.714966 58.569685
    Unten links KachelX 58357 KachelY + 1 39084 -0.34413900 1.02220884 -19.717712 58.568252
    Unten rechts KachelX + 1 58358 KachelY + 1 39084 -0.34409107 1.02220884 -19.714966 58.568252
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02223384-1.02220884) × R
    2.49999999999417e-05 × 6371000     		dl = 159.274999999629m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02223384-1.02220884) × R
    2.49999999999417e-05 × 6371000     		dr = 159.274999999629m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34413900--0.34409107) × cos(1.02223384) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.521461174042693 × 6371000     		do = 159.234442671773m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34413900--0.34409107) × cos(1.02220884) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.521482505755003 × 6371000     		du = 159.240956566748m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02223384)-sin(1.02220884))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.521461174042693-0.521482505755003)×R²
    abs(-0.34409107--0.34413900)×2.133171230978e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.133171230978e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.133171230978e-05×40589641000000     		ar = 25362.5846080169m²