Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58356 / 86517
↖ ↑ ↗
← S 49.818493°
W 19.720459°		 ← 197.06 m → S 49.818493°
W 19.717712°		 →
↑
197.06 m
↓
↑
197.06 m
↓
S 49.820265°
W 19.720459°		 ← 197.06 m →
38 832 m²		 S 49.820265°
W 19.717712°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58356 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86517 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445224761962891 y=0.660076141357422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445224761962891 × 217)
    floor (0.445224761962891 × 131072)
    floor (58356.5)     		tx = 58356
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.660076141357422 × 217)
    floor (0.660076141357422 × 131072)
    floor (86517.5)     		ty = 86517
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58356 / 86517 ti = "17/58356/86517"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58356/86517.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58356 ÷ 217
    58356 ÷ 131072     		x = 0.445220947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86517 ÷ 217
    86517 ÷ 131072     		y = 0.660072326660156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445220947265625 × 2 - 1) × π
    -0.10955810546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34418694
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.660072326660156 × 2 - 1) × π
    -0.320144653320312 × 3.1415926535     		Φ = -1.0057640909284
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34418694} λ = -0.34418694}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0057640909284))-π/2
    2×atan(0.365765050246787)-π/2
    2×0.350649797779375-π/2
    0.701299595558751-1.57079632675     		φ = -0.86949673
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34418694} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.720459°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86949673 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.818493°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58356 KachelY 86517 -0.34418694 -0.86949673 -19.720459 -49.818493
    Oben rechts KachelX + 1 58357 KachelY 86517 -0.34413900 -0.86949673 -19.717712 -49.818493
    Unten links KachelX 58356 KachelY + 1 86518 -0.34418694 -0.86952766 -19.720459 -49.820265
    Unten rechts KachelX + 1 58357 KachelY + 1 86518 -0.34413900 -0.86952766 -19.717712 -49.820265
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86949673--0.86952766) × R
    3.09299999999846e-05 × 6371000     		dl = 197.055029999902m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86949673--0.86952766) × R
    3.09299999999846e-05 × 6371000     		dr = 197.055029999902m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34418694--0.34413900) × cos(-0.86949673) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.645211129386844 × 6371000     		do = 197.064086649312m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34418694--0.34413900) × cos(-0.86952766) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.645187498424655 × 6371000     		du = 197.056869145198m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86949673)-sin(-0.86952766))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.645211129386844-0.645187498424655)×R²
    abs(-0.34413900--0.34418694)×2.36309621893804e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36309621893804e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36309621893804e-05×40589641000000     		ar = 38831.7583868925m²