Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58352 / 86640
↖ ↑ ↗
← S 50.035973°
W 19.731445°		 ← 196.18 m → S 50.035973°
W 19.728699°		 →
↑
196.16 m
↓
↑
196.16 m
↓
S 50.037738°
W 19.731445°		 ← 196.17 m →
38 482 m²		 S 50.037738°
W 19.728699°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58352 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86640 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445194244384766 y=0.661014556884766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445194244384766 × 217)
    floor (0.445194244384766 × 131072)
    floor (58352.5)     		tx = 58352
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.661014556884766 × 217)
    floor (0.661014556884766 × 131072)
    floor (86640.5)     		ty = 86640
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58352 / 86640 ti = "17/58352/86640"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58352/86640.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58352 ÷ 217
    58352 ÷ 131072     		x = 0.4451904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86640 ÷ 217
    86640 ÷ 131072     		y = 0.6610107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4451904296875 × 2 - 1) × π
    -0.109619140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34437869
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6610107421875 × 2 - 1) × π
    -0.322021484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.01166032958167
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34437869} λ = -0.34437869}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01166032958167))-π/2
    2×atan(0.363614757768009)-π/2
    2×0.34875192089623-π/2
    0.69750384179246-1.57079632675     		φ = -0.87329248
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34437869} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.731445°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87329248 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.035973°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58352 KachelY 86640 -0.34437869 -0.87329248 -19.731445 -50.035973
    Oben rechts KachelX + 1 58353 KachelY 86640 -0.34433075 -0.87329248 -19.728699 -50.035973
    Unten links KachelX 58352 KachelY + 1 86641 -0.34437869 -0.87332327 -19.731445 -50.037738
    Unten rechts KachelX + 1 58353 KachelY + 1 86641 -0.34433075 -0.87332327 -19.728699 -50.037738
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87329248--0.87332327) × R
    3.07899999999472e-05 × 6371000     		dl = 196.163089999664m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87329248--0.87332327) × R
    3.07899999999472e-05 × 6371000     		dr = 196.163089999664m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34437869--0.34433075) × cos(-0.87329248) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.642306518954534 × 6371000     		do = 196.176943858384m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34437869--0.34433075) × cos(-0.87332327) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.642282919720194 × 6371000     		du = 196.169736044772m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87329248)-sin(-0.87332327))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.642306518954534-0.642282919720194)×R²
    abs(-0.34433075--0.34437869)×2.35992343400326e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35992343400326e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35992343400326e-05×40589641000000     		ar = 38481.9685433552m²