Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58352 / 35952
↖ ↑ ↗
← N 62.774837°
W 19.731445°		 ← 139.73 m → N 62.774837°
W 19.728699°		 →
↑
139.72 m
↓
↑
139.72 m
↓
N 62.773581°
W 19.731445°		 ← 139.73 m →
19 523 m²		 N 62.773581°
W 19.728699°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58352 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35952 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445194244384766 y=0.274295806884766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445194244384766 × 217)
    floor (0.445194244384766 × 131072)
    floor (58352.5)     		tx = 58352
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.274295806884766 × 217)
    floor (0.274295806884766 × 131072)
    floor (35952.5)     		ty = 35952
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58352 / 35952 ti = "17/58352/35952"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58352/35952.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58352 ÷ 217
    58352 ÷ 131072     		x = 0.4451904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35952 ÷ 217
    35952 ÷ 131072     		y = 0.2742919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4451904296875 × 2 - 1) × π
    -0.109619140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34437869
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2742919921875 × 2 - 1) × π
    0.451416015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.41816523835974
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34437869} λ = -0.34437869}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.41816523835974))-π/2
    2×atan(4.12953676960792)-π/2
    2×1.33321196217367-π/2
    2.66642392434734-1.57079632675     		φ = 1.09562760
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34437869} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.731445°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09562760 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.774837°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58352 KachelY 35952 -0.34437869 1.09562760 -19.731445 62.774837
    Oben rechts KachelX + 1 58353 KachelY 35952 -0.34433075 1.09562760 -19.728699 62.774837
    Unten links KachelX 58352 KachelY + 1 35953 -0.34437869 1.09560567 -19.731445 62.773581
    Unten rechts KachelX + 1 58353 KachelY + 1 35953 -0.34433075 1.09560567 -19.728699 62.773581
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09562760-1.09560567) × R
    2.19299999999478e-05 × 6371000     		dl = 139.716029999668m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09562760-1.09560567) × R
    2.19299999999478e-05 × 6371000     		dr = 139.716029999668m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34437869--0.34433075) × cos(1.09562760) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.457488488178965 × 6371000     		do = 139.72876004345m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34437869--0.34433075) × cos(1.09560567) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.457507988565828 × 6371000     		du = 139.734715963538m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09562760)-sin(1.09560567))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.457488488178965-0.457507988565828)×R²
    abs(-0.34433075--0.34437869)×1.95003868632693e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.95003868632693e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.95003868632693e-05×40589641000000     		ar = 19522.7636994381m²