Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58350 / 28364
↖ ↑ ↗
← N 70.891482°
W 19.736938°		 ← 99.98 m → N 70.891482°
W 19.734192°		 →
↑
99.96 m
↓
↑
99.96 m
↓
N 70.890583°
W 19.736938°		 ← 99.99 m →
9 995 m²		 N 70.890583°
W 19.734192°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58350 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28364 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445178985595703 y=0.216403961181641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445178985595703 × 217)
    floor (0.445178985595703 × 131072)
    floor (58350.5)     		tx = 58350
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.216403961181641 × 217)
    floor (0.216403961181641 × 131072)
    floor (28364.5)     		ty = 28364
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58350 / 28364 ti = "17/58350/28364"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58350/28364.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58350 ÷ 217
    58350 ÷ 131072     		x = 0.445175170898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28364 ÷ 217
    28364 ÷ 131072     		y = 0.216400146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445175170898438 × 2 - 1) × π
    -0.109649658203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34447456
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.216400146484375 × 2 - 1) × π
    0.56719970703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.78191043267673
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34447456} λ = -0.34447456}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78191043267673))-π/2
    2×atan(5.94119583821157)-π/2
    2×1.40404304789945-π/2
    2.8080860957989-1.57079632675     		φ = 1.23728977
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34447456} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.736938°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23728977 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.891482°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58350 KachelY 28364 -0.34447456 1.23728977 -19.736938 70.891482
    Oben rechts KachelX + 1 58351 KachelY 28364 -0.34442662 1.23728977 -19.734192 70.891482
    Unten links KachelX 58350 KachelY + 1 28365 -0.34447456 1.23727408 -19.736938 70.890583
    Unten rechts KachelX + 1 58351 KachelY + 1 28365 -0.34442662 1.23727408 -19.734192 70.890583
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23728977-1.23727408) × R
    1.56900000001237e-05 × 6371000     		dl = 99.9609900007878m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23728977-1.23727408) × R
    1.56900000001237e-05 × 6371000     		dr = 99.9609900007878m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34447456--0.34442662) × cos(1.23728977) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.32735838059964 × 6371000     		do = 99.9836756397812m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34447456--0.34442662) × cos(1.23727408) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.327373206044337 × 6371000     		du = 99.9882037121984m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23728977)-sin(1.23727408))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32735838059964-0.327373206044337)×R²
    abs(-0.34442662--0.34447456)×1.48254446962204e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.48254446962204e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.48254446962204e-05×40589641000000     		ar = 9994.69351630556m²