Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58348 / 35768
↖ ↑ ↗
← N 63.005134°
W 19.742431°		 ← 138.61 m → N 63.005134°
W 19.739685°		 →
↑
138.63 m
↓
↑
138.63 m
↓
N 63.003887°
W 19.742431°		 ← 138.61 m →
19 216 m²		 N 63.003887°
W 19.739685°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58348 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35768 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445163726806641 y=0.272891998291016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445163726806641 × 217)
    floor (0.445163726806641 × 131072)
    floor (58348.5)     		tx = 58348
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.272891998291016 × 217)
    floor (0.272891998291016 × 131072)
    floor (35768.5)     		ty = 35768
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58348 / 35768 ti = "17/58348/35768"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58348/35768.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58348 ÷ 217
    58348 ÷ 131072     		x = 0.445159912109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35768 ÷ 217
    35768 ÷ 131072     		y = 0.27288818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445159912109375 × 2 - 1) × π
    -0.10968017578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34457043
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.27288818359375 × 2 - 1) × π
    0.4542236328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.42698562788983
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34457043} λ = -0.34457043}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42698562788983))-π/2
    2×atan(4.16612200330911)-π/2
    2×1.33522167844212-π/2
    2.67044335688423-1.57079632675     		φ = 1.09964703
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34457043} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.742431°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09964703 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.005134°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58348 KachelY 35768 -0.34457043 1.09964703 -19.742431 63.005134
    Oben rechts KachelX + 1 58349 KachelY 35768 -0.34452250 1.09964703 -19.739685 63.005134
    Unten links KachelX 58348 KachelY + 1 35769 -0.34457043 1.09962527 -19.742431 63.003887
    Unten rechts KachelX + 1 58349 KachelY + 1 35769 -0.34452250 1.09962527 -19.739685 63.003887
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09964703-1.09962527) × R
    2.17600000000928e-05 × 6371000     		dl = 138.632960000591m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09964703-1.09962527) × R
    2.17600000000928e-05 × 6371000     		dr = 138.632960000591m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34457043--0.34452250) × cos(1.09964703) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.45391066262465 × 6371000     		do = 138.607081377633m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34457043--0.34452250) × cos(1.09962527) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.45393005170423 × 6371000     		du = 138.613002066333m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09964703)-sin(1.09962527))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.45391066262465-0.45393005170423)×R²
    abs(-0.34452250--0.34457043)×1.938907957999e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.938907957999e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.938907957999e-05×40589641000000     		ar = 19215.9203704779m²