Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58346 / 86620
↖ ↑ ↗
← S 50.000678°
W 19.747925°		 ← 196.32 m → S 50.000678°
W 19.745178°		 →
↑
196.29 m
↓
↑
196.29 m
↓
S 50.002443°
W 19.747925°		 ← 196.31 m →
38 535 m²		 S 50.002443°
W 19.745178°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58346 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86620 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445148468017578 y=0.660861968994141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445148468017578 × 217)
    floor (0.445148468017578 × 131072)
    floor (58346.5)     		tx = 58346
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.660861968994141 × 217)
    floor (0.660861968994141 × 131072)
    floor (86620.5)     		ty = 86620
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58346 / 86620 ti = "17/58346/86620"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58346/86620.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58346 ÷ 217
    58346 ÷ 131072     		x = 0.445144653320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86620 ÷ 217
    86620 ÷ 131072     		y = 0.660858154296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445144653320312 × 2 - 1) × π
    -0.109710693359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34466631
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.660858154296875 × 2 - 1) × π
    -0.32171630859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.01070159158926
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34466631} λ = -0.34466631}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01070159158926))-π/2
    2×atan(0.363963536217738)-π/2
    2×0.349059935860499-π/2
    0.698119871720997-1.57079632675     		φ = -0.87267646
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34466631} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.747925°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87267646 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.000678°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58346 KachelY 86620 -0.34466631 -0.87267646 -19.747925 -50.000678
    Oben rechts KachelX + 1 58347 KachelY 86620 -0.34461837 -0.87267646 -19.745178 -50.000678
    Unten links KachelX 58346 KachelY + 1 86621 -0.34466631 -0.87270727 -19.747925 -50.002443
    Unten rechts KachelX + 1 58347 KachelY + 1 86621 -0.34461837 -0.87270727 -19.745178 -50.002443
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87267646--0.87270727) × R
    3.08100000000477e-05 × 6371000     		dl = 196.290510000304m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87267646--0.87270727) × R
    3.08100000000477e-05 × 6371000     		dr = 196.290510000304m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34466631--0.34461837) × cos(-0.87267646) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.642778544269419 × 6371000     		do = 196.321112539481m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34466631--0.34461837) × cos(-0.87270727) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.642754941900687 × 6371000     		du = 196.313903768546m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87267646)-sin(-0.87270727))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.642778544269419-0.642754941900687)×R²
    abs(-0.34461837--0.34466631)×2.36023687317788e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36023687317788e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36023687317788e-05×40589641000000     		ar = 38535.2638006426m²