Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58346 / 35767
↖ ↑ ↗
← N 63.006381°
W 19.747925°		 ← 138.63 m → N 63.006381°
W 19.745178°		 →
↑
138.63 m
↓
↑
138.63 m
↓
N 63.005134°
W 19.747925°		 ← 138.64 m →
19 219 m²		 N 63.005134°
W 19.745178°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58346 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35767 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445148468017578 y=0.272884368896484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445148468017578 × 217)
    floor (0.445148468017578 × 131072)
    floor (58346.5)     		tx = 58346
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.272884368896484 × 217)
    floor (0.272884368896484 × 131072)
    floor (35767.5)     		ty = 35767
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58346 / 35767 ti = "17/58346/35767"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58346/35767.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58346 ÷ 217
    58346 ÷ 131072     		x = 0.445144653320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35767 ÷ 217
    35767 ÷ 131072     		y = 0.272880554199219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445144653320312 × 2 - 1) × π
    -0.109710693359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34466631
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.272880554199219 × 2 - 1) × π
    0.454238891601562 × 3.1415926535     		Φ = 1.42703356478945
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34466631} λ = -0.34466631}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42703356478945))-π/2
    2×atan(4.16632171906822)-π/2
    2×1.3352325577447-π/2
    2.6704651154894-1.57079632675     		φ = 1.09966879
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34466631} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.747925°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09966879 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.006381°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58346 KachelY 35767 -0.34466631 1.09966879 -19.747925 63.006381
    Oben rechts KachelX + 1 58347 KachelY 35767 -0.34461837 1.09966879 -19.745178 63.006381
    Unten links KachelX 58346 KachelY + 1 35768 -0.34466631 1.09964703 -19.747925 63.005134
    Unten rechts KachelX + 1 58347 KachelY + 1 35768 -0.34461837 1.09964703 -19.745178 63.005134
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09966879-1.09964703) × R
    2.17599999998708e-05 × 6371000     		dl = 138.632959999177m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09966879-1.09964703) × R
    2.17599999998708e-05 × 6371000     		dr = 138.632959999177m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34466631--0.34461837) × cos(1.09966879) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.453891273330145 × 6371000     		do = 138.630078036311m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34466631--0.34461837) × cos(1.09964703) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.45391066262465 × 6371000     		du = 138.636000025933m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09966879)-sin(1.09964703))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.453891273330145-0.45391066262465)×R²
    abs(-0.34461837--0.34466631)×1.93892945054008e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.93892945054008e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.93892945054008e-05×40589641000000     		ar = 19219.1085554769m²