Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58344 / 28504
↖ ↑ ↗
← N 70.765205°
W 19.753418°		 ← 100.60 m → N 70.765205°
W 19.750672°		 →
↑
100.60 m
↓
↑
100.60 m
↓
N 70.764301°
W 19.753418°		 ← 100.60 m →
10 120 m²		 N 70.764301°
W 19.750672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58344 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28504 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445133209228516 y=0.217472076416016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445133209228516 × 217)
    floor (0.445133209228516 × 131072)
    floor (58344.5)     		tx = 58344
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.217472076416016 × 217)
    floor (0.217472076416016 × 131072)
    floor (28504.5)     		ty = 28504
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58344 / 28504 ti = "17/58344/28504"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58344/28504.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58344 ÷ 217
    58344 ÷ 131072     		x = 0.44512939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28504 ÷ 217
    28504 ÷ 131072     		y = 0.21746826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44512939453125 × 2 - 1) × π
    -0.1097412109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34476218
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21746826171875 × 2 - 1) × π
    0.5650634765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.77519926672992
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34476218} λ = -0.34476218}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.77519926672992))-π/2
    2×atan(5.90145698319635)-π/2
    2×1.40294108026975-π/2
    2.80588216053949-1.57079632675     		φ = 1.23508583
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34476218} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.753418°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23508583 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.765205°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58344 KachelY 28504 -0.34476218 1.23508583 -19.753418 70.765205
    Oben rechts KachelX + 1 58345 KachelY 28504 -0.34471425 1.23508583 -19.750672 70.765205
    Unten links KachelX 58344 KachelY + 1 28505 -0.34476218 1.23507004 -19.753418 70.764301
    Unten rechts KachelX + 1 58345 KachelY + 1 28505 -0.34471425 1.23507004 -19.750672 70.764301
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23508583-1.23507004) × R
    1.578999999996e-05 × 6371000     		dl = 100.598089999745m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23508583-1.23507004) × R
    1.578999999996e-05 × 6371000     		dr = 100.598089999745m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34476218--0.34471425) × cos(1.23508583) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.329440087333239 × 6371000     		do = 100.5984938314m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34476218--0.34471425) × cos(1.23507004) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.329454995838818 × 6371000     		du = 100.603046322928m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23508583)-sin(1.23507004))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.329440087333239-0.329454995838818)×R²
    abs(-0.34471425--0.34476218)×1.49085055788922e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.49085055788922e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.49085055788922e-05×40589641000000     		ar = 10120.2453224909m²