Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58342 / 38498
↖ ↑ ↗
← N 59.397569°
W 19.758911°		 ← 155.49 m → N 59.397569°
W 19.756165°		 →
↑
155.45 m
↓
↑
155.45 m
↓
N 59.396171°
W 19.758911°		 ← 155.49 m →
24 171 m²		 N 59.396171°
W 19.756165°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58342 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38498 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445117950439453 y=0.293720245361328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445117950439453 × 217)
    floor (0.445117950439453 × 131072)
    floor (58342.5)     		tx = 58342
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.293720245361328 × 217)
    floor (0.293720245361328 × 131072)
    floor (38498.5)     		ty = 38498
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58342 / 38498 ti = "17/58342/38498"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58342/38498.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58342 ÷ 217
    58342 ÷ 131072     		x = 0.445114135742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38498 ÷ 217
    38498 ÷ 131072     		y = 0.293716430664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445114135742188 × 2 - 1) × π
    -0.109771728515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34485806
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.293716430664062 × 2 - 1) × π
    0.412567138671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.29611789192708
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34485806} λ = -0.34485806}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29611789192708))-π/2
    2×atan(3.65507967520951)-π/2
    2×1.30373973507371-π/2
    2.60747947014741-1.57079632675     		φ = 1.03668314
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34485806} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.758911°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03668314 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.397569°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58342 KachelY 38498 -0.34485806 1.03668314 -19.758911 59.397569
    Oben rechts KachelX + 1 58343 KachelY 38498 -0.34481012 1.03668314 -19.756165 59.397569
    Unten links KachelX 58342 KachelY + 1 38499 -0.34485806 1.03665874 -19.758911 59.396171
    Unten rechts KachelX + 1 58343 KachelY + 1 38499 -0.34481012 1.03665874 -19.756165 59.396171
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03668314-1.03665874) × R
    2.44000000000355e-05 × 6371000     		dl = 155.452400000226m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03668314-1.03665874) × R
    2.44000000000355e-05 × 6371000     		dr = 155.452400000226m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34485806--0.34481012) × cos(1.03668314) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.50907794146923 × 6371000     		do = 155.485506990994m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34485806--0.34481012) × cos(1.03665874) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.509098942896048 × 6371000     		du = 155.491921367321m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03668314)-sin(1.03665874))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.50907794146923-0.509098942896048)×R²
    abs(-0.34481012--0.34485806)×2.10014268184899e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.10014268184899e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.10014268184899e-05×40589641000000     		ar = 24171.0937932732m²