Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58342 / 38438
↖ ↑ ↗
← N 59.481359°
W 19.758911°		 ← 155.10 m → N 59.481359°
W 19.756165°		 →
↑
155.07 m
↓
↑
155.07 m
↓
N 59.479964°
W 19.758911°		 ← 155.11 m →
24 052 m²		 N 59.479964°
W 19.756165°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58342 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38438 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445117950439453 y=0.293262481689453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445117950439453 × 217)
    floor (0.445117950439453 × 131072)
    floor (58342.5)     		tx = 58342
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.293262481689453 × 217)
    floor (0.293262481689453 × 131072)
    floor (38438.5)     		ty = 38438
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58342 / 38438 ti = "17/58342/38438"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58342/38438.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58342 ÷ 217
    58342 ÷ 131072     		x = 0.445114135742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38438 ÷ 217
    38438 ÷ 131072     		y = 0.293258666992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445114135742188 × 2 - 1) × π
    -0.109771728515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34485806
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.293258666992188 × 2 - 1) × π
    0.413482666015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.29899410590428
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34485806} λ = -0.34485806}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29899410590428))-π/2
    2×atan(3.66560759948283)-π/2
    2×1.30447093789163-π/2
    2.60894187578326-1.57079632675     		φ = 1.03814555
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34485806} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.758911°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03814555 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.481359°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58342 KachelY 38438 -0.34485806 1.03814555 -19.758911 59.481359
    Oben rechts KachelX + 1 58343 KachelY 38438 -0.34481012 1.03814555 -19.756165 59.481359
    Unten links KachelX 58342 KachelY + 1 38439 -0.34485806 1.03812121 -19.758911 59.479964
    Unten rechts KachelX + 1 58343 KachelY + 1 38439 -0.34481012 1.03812121 -19.756165 59.479964
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03814555-1.03812121) × R
    2.43400000001781e-05 × 6371000     		dl = 155.070140001135m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03814555-1.03812121) × R
    2.43400000001781e-05 × 6371000     		dr = 155.070140001135m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34485806--0.34481012) × cos(1.03814555) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.507818671393701 × 6371000     		do = 155.100893496316m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34485806--0.34481012) × cos(1.03812121) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.507839639276662 × 6371000     		du = 155.107297627485m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03814555)-sin(1.03812121))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.507818671393701-0.507839639276662)×R²
    abs(-0.34481012--0.34485806)×2.09678829613535e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.09678829613535e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.09678829613535e-05×40589641000000     		ar = 24052.0138147142m²