Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58341 / 86309
↖ ↑ ↗
← S 49.448486°
W 19.761658°		 ← 198.53 m → S 49.448486°
W 19.758911°		 →
↑
198.52 m
↓
↑
198.52 m
↓
S 49.450271°
W 19.761658°		 ← 198.52 m →
39 411 m²		 S 49.450271°
W 19.758911°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58341 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86309 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445110321044922 y=0.658489227294922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445110321044922 × 217)
    floor (0.445110321044922 × 131072)
    floor (58341.5)     		tx = 58341
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.658489227294922 × 217)
    floor (0.658489227294922 × 131072)
    floor (86309.5)     		ty = 86309
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58341 / 86309 ti = "17/58341/86309"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58341/86309.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58341 ÷ 217
    58341 ÷ 131072     		x = 0.445106506347656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86309 ÷ 217
    86309 ÷ 131072     		y = 0.658485412597656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445106506347656 × 2 - 1) × π
    -0.109786987304688 × 3.1415926535     		Λ = -0.34490599
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.658485412597656 × 2 - 1) × π
    -0.316970825195312 × 3.1415926535     		Φ = -0.995793215807427
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34490599} λ = -0.34490599}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.995793215807427))-π/2
    2×atan(0.369430290346113)-π/2
    2×0.353878718265314-π/2
    0.707757436530629-1.57079632675     		φ = -0.86303889
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34490599} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.761658°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86303889 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.448486°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58341 KachelY 86309 -0.34490599 -0.86303889 -19.761658 -49.448486
    Oben rechts KachelX + 1 58342 KachelY 86309 -0.34485806 -0.86303889 -19.758911 -49.448486
    Unten links KachelX 58341 KachelY + 1 86310 -0.34490599 -0.86307005 -19.761658 -49.450271
    Unten rechts KachelX + 1 58342 KachelY + 1 86310 -0.34485806 -0.86307005 -19.758911 -49.450271
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86303889--0.86307005) × R
    3.11600000000301e-05 × 6371000     		dl = 198.520360000191m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86303889--0.86307005) × R
    3.11600000000301e-05 × 6371000     		dr = 198.520360000191m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34490599--0.34485806) × cos(-0.86303889) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.650131458943186 × 6371000     		do = 198.525462069645m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34490599--0.34485806) × cos(-0.86307005) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.650107782581956 × 6371000     		du = 198.518232207916m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86303889)-sin(-0.86307005))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.650131458943186-0.650107782581956)×R²
    abs(-0.34485806--0.34490599)×2.36763612309066e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.36763612309066e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.36763612309066e-05×40589641000000     		ar = 39410.6285651908m²