Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58341 / 28503
↖ ↑ ↗
← N 70.766111°
W 19.761658°		 ← 100.59 m → N 70.766111°
W 19.758911°		 →
↑
100.66 m
↓
↑
100.66 m
↓
N 70.765205°
W 19.761658°		 ← 100.60 m →
10 126 m²		 N 70.765205°
W 19.758911°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58341 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28503 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445110321044922 y=0.217464447021484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445110321044922 × 217)
    floor (0.445110321044922 × 131072)
    floor (58341.5)     		tx = 58341
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.217464447021484 × 217)
    floor (0.217464447021484 × 131072)
    floor (28503.5)     		ty = 28503
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58341 / 28503 ti = "17/58341/28503"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58341/28503.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58341 ÷ 217
    58341 ÷ 131072     		x = 0.445106506347656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28503 ÷ 217
    28503 ÷ 131072     		y = 0.217460632324219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445106506347656 × 2 - 1) × π
    -0.109786987304688 × 3.1415926535     		Λ = -0.34490599
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.217460632324219 × 2 - 1) × π
    0.565078735351562 × 3.1415926535     		Φ = 1.77524720362954
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34490599} λ = -0.34490599}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.77524720362954))-π/2
    2×atan(5.90173988752809)-π/2
    2×1.40294897625917-π/2
    2.80589795251834-1.57079632675     		φ = 1.23510163
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34490599} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.761658°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23510163 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.766111°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58341 KachelY 28503 -0.34490599 1.23510163 -19.761658 70.766111
    Oben rechts KachelX + 1 58342 KachelY 28503 -0.34485806 1.23510163 -19.758911 70.766111
    Unten links KachelX 58341 KachelY + 1 28504 -0.34490599 1.23508583 -19.761658 70.765205
    Unten rechts KachelX + 1 58342 KachelY + 1 28504 -0.34485806 1.23508583 -19.758911 70.765205
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23510163-1.23508583) × R
    1.57999999998992e-05 × 6371000     		dl = 100.661799999358m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23510163-1.23508583) × R
    1.57999999998992e-05 × 6371000     		dr = 100.661799999358m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34490599--0.34485806) × cos(1.23510163) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.329425169303706 × 6371000     		do = 100.593938431618m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34490599--0.34485806) × cos(1.23508583) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.329440087333239 × 6371000     		du = 100.5984938314m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23510163)-sin(1.23508583))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.329425169303706-0.329440087333239)×R²
    abs(-0.34485806--0.34490599)×1.49180295330731e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.49180295330731e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.49180295330731e-05×40589641000000     		ar = 10126.1961892925m²