Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58339 / 81630
↖ ↑ ↗
← S 40.375844°
W 19.767151°		 ← 232.68 m → S 40.375844°
W 19.764404°		 →
↑
232.67 m
↓
↑
232.67 m
↓
S 40.377936°
W 19.767151°		 ← 232.67 m →
54 136 m²		 S 40.377936°
W 19.764404°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58339 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81630 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445095062255859 y=0.622791290283203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445095062255859 × 217)
    floor (0.445095062255859 × 131072)
    floor (58339.5)     		tx = 58339
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622791290283203 × 217)
    floor (0.622791290283203 × 131072)
    floor (81630.5)     		ty = 81630
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58339 / 81630 ti = "17/58339/81630"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58339/81630.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58339 ÷ 217
    58339 ÷ 131072     		x = 0.445091247558594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81630 ÷ 217
    81630 ÷ 131072     		y = 0.622787475585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445091247558594 × 2 - 1) × π
    -0.109817504882812 × 3.1415926535     		Λ = -0.34500187
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.622787475585938 × 2 - 1) × π
    -0.245574951171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.771496462485184
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34500187} λ = -0.34500187}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.771496462485184))-π/2
    2×atan(0.462320704801566)-π/2
    2×0.433052457316439-π/2
    0.866104914632878-1.57079632675     		φ = -0.70469141
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34500187} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.767151°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70469141 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.375844°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58339 KachelY 81630 -0.34500187 -0.70469141 -19.767151 -40.375844
    Oben rechts KachelX + 1 58340 KachelY 81630 -0.34495393 -0.70469141 -19.764404 -40.375844
    Unten links KachelX 58339 KachelY + 1 81631 -0.34500187 -0.70472793 -19.767151 -40.377936
    Unten rechts KachelX + 1 58340 KachelY + 1 81631 -0.34495393 -0.70472793 -19.764404 -40.377936
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70469141--0.70472793) × R
    3.65199999999843e-05 × 6371000     		dl = 232.6689199999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70469141--0.70472793) × R
    3.65199999999843e-05 × 6371000     		dr = 232.6689199999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34500187--0.34495393) × cos(-0.70469141) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.761811492255053 × 6371000     		do = 232.676838762351m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34500187--0.34495393) × cos(-0.70472793) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.761787834135851 × 6371000     		du = 232.669612963787m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70469141)-sin(-0.70472793))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.761811492255053-0.761787834135851)×R²
    abs(-0.34495393--0.34500187)×2.3658119201686e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3658119201686e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3658119201686e-05×40589641000000     		ar = 54135.8281803252m²